수학생 Juicy

$A$가 $n\times n$ 행렬이고 $T_{A}~:~\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n},~T_{A}(\textbf{x})=A\textbf{x}$ 이면 다음은 동치이다. (1) $A$는 가역이다. (2) $A\textbf{x}=0$은 오직 자명해만을 갖는다. (3) $A$의 기약행 사다리꼴(기약 가우스 행렬)은 $I_{n}$이다. (4) $A$는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다. (5) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 해를 갖는다. (6) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 오직 하나의 해를 갖는다. (7) $det(A)\neq 0$ (8) $A$의 열벡..

Def. 선형변환 $T~:~V\to W$에 대하여 $T$의 핵(kernel)과 $T$의 치역(range)을 각각 다음과 같이 정의한다. $$ker(T)=\left\{ \textbf{v}\in V~|~T(\textbf{v})=\textbf{0}_{W}\right\},~R(T)[or~Im(T)]=\left\{ T(\textbf{v})~|~\textbf{v}\in V\right\}$$ ex1. $\left\{ \textbf{e}_{1},~\textbf{e}_{2},~\textbf{e}_{3},~\textbf{e}_{4}\right\}$를 $\mathbb{R}^{4}$의 표준기저라 하고 $T~:~\mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3}$은 $$T(\textbf{e}_{1})=\left ( 1,..

$T~:~V\to W$가 벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로의 함수일 때, $T$가 $V$의 모든 벡터 $\textbf{u},~\textbf{v}$와 모든 스칼라 $c$에 대해서 다음을 만족하면 $T$를 $V$에서 $W$로의 선형변환(선형사상, linear transformation)이라 한다. (1) $T(\textbf{u}+\textbf{v})=T(\textbf{u})+T(\textbf{v})$ (2) $T(c\textbf{u})=cT(\textbf{u})$ 특히 $V=W$일 때, 선형변환 $T~:~V\to V$를 $V$의 선형연산자(linear operator)라 한다. 선형변환 예) (1) $W$를 내적공간 $V$의 유한차원 부분공간이라 하자. $$T~:~V\to W,~T(\textbf{v})=..

$W$를 내적공간 $V$의 부분공간이라 하자. $V$의 벡터 $u$가 $W$의 모든 벡터와 수직일 때 벡터 $u$는 $W$와 직교한다(orthogonal to $W$)고 하고, $W$와 직교하는 $V$의 모든 벡터 집합을 $W$의 직교여공간(orthogonal complement of W)이라 하고 $W^{\perp }$라 표기한다. Thm1. $W$가 유한차원인 내적공간 $V$의 부분공간이면 다음이 성립한다. (1) $W^{\perp }$는 $V$의 부분공간이다. (2) $W\cap W^{\perp }=\left\{0 \right\}$ (3) $\left ( W^{\perp } \right )^{\perp }=W$ Thm2. $A$가 $m\times n$행렬이면 다음이 성립한다. (1) $A$의 영공간..

$\textbf{u}=\left ( u_{1},~\cdots ,~u_{n} \right ),~\textbf{v}=\left ( v_{1},~\cdots ,~v_{n} \right )$에 대하여 $$=u_{1}v_{1}+~\cdots ~+u_{n}v_{n}$$ 이라 정의하면, $$는 $\mathbb{R}^{n}$상의 내적이다. 이 내적을 유클리드 내적(Euclidean inner product) 또는 표준내적(standard inner product)이라 한다. $V$를 내적공간이라 할 때 $V$의 벡터 $\textbf{u}$의 노름(norm) 또는 길이(length)를 $\left\|u \right\|$로 표시하고 $$\left\|u \right\|=^{1/2}$$ 로 정의한다. 두 점(벡터) $\tex..

문제는 꾸준히 업데이트 중입니다. 해답이 올라와 있지 않은 것은 아직 업데이트 되지 않은 것이므로 곧 업데이트하여 올릴 예정입니다. 순서대로 꼭 알고가야 할 것들 위주로 정리한 것이고 지극히 주관적인 생각이므로 참고만 해주세요. Q1. 행렬 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오. A1. 더보기 Q2. 행렬 $A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 3 \\ 8 & 6 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오. A2. 더보기 **역행렬을 구하는 문제는 뒤에서 많이 응용되어 나오기 때문에 완벽하게 ..

영이 아닌 벡터공간 $V$가 기저를 구성하는 유한집합 벡터 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2}\,~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$을 포함할 때 $V$는 유한차원(finite-dimensional)이라 하고 이와 같은 집합이 존재하지 않을 때 $V$는 무한차원(infinite-dimensional)이라 한다. 더보기 기저(basis) : https://mathngju.tistory.com/44 유한차원 벡터공간 $V$의 차원(dimension)은 dim($V$)로 표기되고, $V$의 기저를 구성하는 벡터의 개수로 정의한다. ex) $\mathbb{R}^{4}$의 부분공간 $W=\left\{ \left ( a,~b,~c,~d \right )~|~..

$A$가 $m\times n$ 행렬일 때 $A$의 행공간(row space) : $A$의 행벡터가 생성하는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분공간 $A$의 열공간(column space) : $A$의 열벡터가 생성하는 \mathbb{R}^{m}$의 부분공간 $A$의 영공간(null space) : $\left\{ \textbf{x}\in \mathbb{R}^{n}|A\textbf{x}=0\right\}$ 각각을 row($A$), col($A$), null($A$)로 표기한다. ex) $$A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\ 3 & -2 & 1 & 4 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 & 7 & 8 \\ \end{bmatrix}$..

$B=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$가 벡터공간 $V$의 기저이고 $$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$ 이 기저 $B$에 의한 벡터 $\textbf{v}$의 표현일 때 스칼라 $c_{1}$, $c_{2}$, $\cdots $, $c_{n}$을 기저 $B$에 관한 $v$의 좌표벡터(coordinate vector of $\textbf{v}$ relative to $B$)라 하고 다음과 같이 표기한다. $$\left [ \textbf{v} \right ]_{B}=\left [ c_{1},~c_{2}..

$V$가 임의의 벡터공간이고 $B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 $V$의 벡터집합일 때 $B$가 다음 두 조건을 만족하면 $B$를 $V$의 기저(basis)라 한다. (1) $B$는 일차독립이다. (2) $B$는 $V$를 생성한다. $B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 벡터공간 $V$의 기저이면 $V$에 속하는 모든 벡터는 $$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$ 인 형식으로 유일하게 표현될 수 ..