차원(dimension)/계수(rank), 퇴화차수(nullity)

영이 아닌 벡터공간 $V$가 기저를 구성하는 유한집합 벡터 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2}\,~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$을 포함할 때 $V$는 유한차원(finite-dimensional)이라 하고 이와 같은 집합이 존재하지 않을 때 $V$는 무한차원(infinite-dimensional)이라 한다.

기저(basis) : https://mathngju.tistory.com/44

 

유한차원 벡터공간 $V$의 차원(dimension)은 dim($V$)로 표기되고, $V$의 기저를 구성하는 벡터의 개수로 정의한다.

 

ex) $\mathbb{R}^{4}$의 부분공간 $W=\left\{ \left ( a,~b,~c,~d \right )~|~a+2b-3c+4d=0\right\}$에 대하여 dim($W$)를 구하시오.

 

sol)

 

 

Thm1.

임의의 행렬 $A$에 대하여 $A$의 행공간과 열공간의 차원은 동일하다

 

Thm2.

행렬 $A$의 행공간과 열공간의 공통차원을 $A$의 계수(유효차수, rank)라 하고 rank($A$)로 표기하며 $A$의 영공간의 차원을 $A$의 퇴화차수(무효차수, nullity)라 하고 nullity($A$)라고 표기한다.

 

Thm3.

$A$가 $n$개의 열을 갖는 행렬이면 다음이 성립한다.

$$rank(A)+nullity(A)=n$$

 

ex) 행렬 $A=\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 0 & 4 & 5 & -3 \\
3 & -7 & 2 & 0 & 1 & 4 \\
2 & -5 & 2 & 4 & 6 & 1 \\
4 & -9 & 2 & -4 & -4 & 7 \\
\end{bmatrix}$의 계수와 퇴화차수를 구하시오.

 

sol)