임용준비 문제풀이(선형대수학)

문제는 꾸준히 업데이트 중입니다.

해답이 올라와 있지 않은 것은 아직 업데이트 되지 않은 것이므로 곧 업데이트하여 올릴 예정입니다.

순서대로 꼭 알고가야 할 것들 위주로 정리한 것이고 지극히 주관적인 생각이므로 참고만 해주세요.

 

Q1. 행렬 $A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오.

 

A1.

 

 

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Q2. 행렬 $A=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 5 \\
-1 & 2 & 4 & 1 \\
3 & 0 & 0 & 3 \\
8 & 6 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오.

 

A2.

 

 

**역행렬을 구하는 문제는 뒤에서 많이 응용되어 나오기 때문에 완벽하게 익히고 다음문제로 넘어가야 한다고 생각한다.

** $3\times 3$ 뿐만아니라 $4\times 4$이상의 행렬들도 구체적으로 어떻게 구하는지 알아두면 좋다.

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Q3. 각 성분이 실수인 $3\times 3$ 정칙행렬(가역행렬) $A$의 수반행렬(adjoint matrix)을 adj$A$라 할 때, <보기>의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2011학년도 기출]

<보기> ㄱ. 임의의 자연수 $n$에 대하여 $adj(A^{n})=(adjA)^{n}$이다. ㄴ. 행렬 $A$의 전치행렬(transpose matrix)을 $A^{T}$라 할 때, $adj(A{T})=(adjA)^{T}$이다. ㄷ. $adj(adjA)=A$

 

A3.

 

 

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Q4. 실수체 $\mathbb{R}$ 위의 벡터공간 $\mathbb{R}^{5}$에 속하는 벡터 $v_{1},~v_{2},~v_{3}$에 대하여 <보기>의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2013학년도 기출]

<보기> $v_{1},~v_{2},~v_{3}$이 일차독립이면 $v_{1}+v_{2}+v_{3},~v_{2}+v_{3},~v_{3}$도 일차독립이다.

 

A4.

 

 

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Q5. 론스키안을 이용하여 다음 벡터의 집합은 일차독립임을 밝히시오.

(1) $1,~x,~e^{x}$

(2) $1,~x,~x^{2}$

 

A5.

 

 

 

**일차종속과 일차독립은 확실히 구분할 수 있어야 한다.

**함수들(함수벡터)의 집합은 론스키안을 활용하여 일차독립임을 밝히는 것이 좋다.

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Q6. 다음 $\mathbb{R}^{3}$의 부분공간의 기저를 구하시오.

(1) 평면 $3x-2y+5z=0$

(2) 평면 $x-y=0$

(3) 직선 $x=2t,~y=-t,~z=4t$

(4) $(a,~b,~c)$ 형태의 벡터 전체, 단 $b=a+c$라 한다.

 

A6.

 

 

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Q7. $\textbf{p}_{1}=6+3x,~\textbf{p}_{2}=10+2x,~\textbf{q}_{1}=2,~\textbf{q}_{2}=3+2x$라고 할 때, 기저 $B=\left\{ \textbf{p}_{1},~\textbf{p}_{2}\right\},~B'=\left\{ \textbf{q}_{1},~\textbf{q}_{2}\right\}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $B'$에서 $B$로의 추이행렬을 구하시오.

(2) $B$에서 $B'$로의 추이행렬을 구하시오.

(3) $\textbf{p}=-4+x$에 대하여 좌표벡터 $\left [ \textbf{p} \right ]_{B}$를 구하시오. 또한 추이행렬을 사용해서 $\left [ \textbf{p} \right ]_{B'}$를 구하시오.

(4) $\left [ \textbf{p} \right ]_{B'}$를 직접적으로 계산해서 검산하시오.

 

A7.

 

 

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Q8. 행렬 $A=\begin{bmatrix}
1 & -3 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 3 & 6 & 0 & -3 \\
2 & -3 & -2 & 4 & 4 \\
3 & -6 & 0 & 6 & 5 \\
-2 & 9 & 2 & -4 & -5 \\
\end{bmatrix}$의 영공간, 행공간에 대한 기저를 구하고 계수와 퇴화차수를 구하시오.

 

A8.

 

 

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Q9. 다음 벡터가 생성하는 $\mathbb{R}^{4}$의 부분공간의 직교여공간에 대한 기저를 구하시오.

$$\textbf{v}_{1}=\left ( 1,~4,~5,~2 \right ),~\textbf{v}_{2}=\left ( 2,~1,~3,~0 \right ),~\textbf{v}_{3}=\left ( -1,~3,~2,~2 \right )$$

 

A9.

 

 

 

Q10. $\textbf{v}_{1}=\left ( 1,~0,~-1,~1 \right ),~\textbf{v}_{2}=\left ( 0,~2,~0,~0 \right ),~\textbf{v}_{3}=\left ( 0,~0,~1,~-1 \right )$가 생성하는 공간을 $W$라 할 때, $\textbf{u}=\left ( 2,~3,~1,~0 \right )$에 대하여 $proj_{W}\textbf{u}$와 $W$에 관한 $\textbf{u}$의 직교성분을 구하시오.

 

A10.

 

 

 

Q11.

$\left\{ \textbf{e}_{1},~\textbf{e}_{2},~\textbf{e}_{3},~\textbf{e}_{4}\right\}$를 $\mathbb{R}^{4}$의 표준기저라 하고 $T~:~\mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3}$은

$$T(\textbf{e}_{1})=\left ( 1,~2,~1 \right ),~T(\textbf{e}_{2})=\left ( 0,~1,~0 \right ),~T(\textbf{e}_{3})=\left ( 1,~3,~0 \right ),~T(\textbf{e}_{4})=\left ( 1,~1,~1 \right )$$

을 만족하는 선형변환이라 할 때, 치역의 기저와 $T$의 핵을 구하시오.

 

A11.

 

 

 

Q12.

실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 벡터공간 $\mathbb{R}^{3}$에 관련된 <보기>의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2010학년도 기출]

<보기> 선형사상 $$T~:~\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{3},~T(x,~y,~z)=(x-y,~2y,~x-3z)$$ 에 대하여 $T$의 핵(kernel) $ker(T)$의 차원은 1이다.

 

A12.

 

 

 

Q13.

$B=\left\{\textbf{u}_{1},~\textbf{u}_{2},~\textbf{u}_{3} \right\}$를 벡터공간 $V$의 기저라 하고 $T~:~V\to V$를 $\left [ T \right ]_{B}=\begin{bmatrix}
-3 & 4 & 7 \\
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}$을 만족하는 선형연산자라 하자. $B'=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\textbf{v}_{3} \right\}$가

$$\textbf{v}_{1}=\textbf{u}_{1},~\textbf{v}_{2}=\textbf{u}_{1}+\textbf{u}_{2},~\textbf{v}_{3}=\textbf{u}_{1}+\textbf{u}_{2}+\textbf{u}_{3}$$

로 정의되는 $V$의 기저일 때 $\left [ T \right ]_{B'}$을 구하시오.

 

A13.

 

 

 

Q14.

$2$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{2}$의 단위벡터(unit vector) $\textbf{u}$에 대하여 선형사상 $T~:~\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$을

$$T(\textbf{x})=\textbf{x}-2\left ( \textbf{x}\cdot \textbf{u} \right )\textbf{u}$$

로 정의하자. 모든 벡터 $\textbf{x}$에 대하여 $\left\|T(\textbf{x}) \right\|=\left\|\textbf{x} \right\|$임을 보이시오. 또한 $\textbf{u}=\left ( \frac{1}{\sqrt{2}},~\frac{1}{\sqrt{2}} \right )$일 때, $\mathbb{R}^{2}$의 기저(basis) $B=\left\{\left ( 1,~0 \right ),~\left ( 1,~1 \right ) \right\}$에 대한 $T$의 행렬 $\left [ T \right ]_{B}$를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 두 벡터 $\textbf{x},~\textbf{y}$에 대하여 $\textbf{x}\cdot \textbf{y}$는 $\textbf{x}$와 $\textbf{y}$의 점곱(유클리드 내적, dot product, Euclidean inner product)이고, $\left\| \textbf{x}\right\|$은 $\textbf{x}$의 유클리드 노름(Euclidean norm)이다.) [2016학년도 기출]

 

A14.

 

 

 

Q15.

$T~:~M_{22}\to M_{22}$를

$$T(X)=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}X+X\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}$$

로 정의되는 선형연산자라 하자. $T$의 계수와 퇴화차수를 구하시오.

 

A15.

 

 

 

Q16.

실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 벡터공간 $V=\left\{ \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}~|~a,~b,~c,~d\in \mathbb{R}\right\}$와 행렬 $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 3 \\
\end{pmatrix}$에 대하여 선형사상 $L~:~V\to V$를 $L(B)=AB-BA$로 정의하자. $V$의 부분공간(subspace)

$$im(L)=\left\{ L(B)~|~B\in V\right\}$$

의 차원은? [2012학년도 기출]

 

A16.

 

 

 

Q17.

행렬 $A=\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
7 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}$에 대한 보기의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2010학년도 기출]

 

A17.

 

 

 

Q18.

다음 행렬의 고유치(eigen value)와 고유공간(eigen space)을 구하시오. [2004학년도 기출]

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}$$

 

A18.

 

 

 

Q19.

$3\times 3$행렬 $A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{bmatrix}$에 대하여, $A^{10}$의 고윳값(eigen values)과 고유벡터(eigenvector)를 모두 구하시오. [2000학년도 기출]

 

A19.

 

 

 

Q20.

3차 정사각행렬 $A=\left ( a_{ij} \right )$가

$$A\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 \\
4 \\
8\end{bmatrix},~A\begin{bmatrix}
-1 \\
 0\\
1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 \\
0 \\
-2\end{bmatrix},~A\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 \\
-2 \\
0\end{bmatrix}$$

을 만족할 때, $A$의 고윳값(eigenvalue)을 모두 쓰시오. 또한, $a_{11}+a_{12}+a_{13}$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [2022학년도 기출]

 

A20.

 

 

 

Q21.

행렬 $A=\begin{bmatrix}
3 & 2 & 2 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & -2 & 0 \\
\end{bmatrix}$에 대하여 $A=PDP^{-1}$을 만족하는 행렬 $D=\begin{bmatrix}
d_{1} & 0 & 0 \\
0 & d_{2} & 0 \\
0 & 0 & d_{3} \\
\end{bmatrix}$와 가역행렬 $P$를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 행렬 $A^{n}$의 2행 3열의 성분을 구하시오. (단, $d_{1}\leq d_{2}\leq d_{3}$이고 $n$은 자연수이다.) [2021학년도 기출]

 

A21.