선형변환의 행렬 표현

Def.

선형변환 $T~:~V\to W$에 대하여 $T$의 핵(kernel)과 $T$의 치역(range)을 각각 다음과 같이 정의한다.

$$ker(T)=\left\{ \textbf{v}\in V~|~T(\textbf{v})=\textbf{0}_{W}\right\},~R(T)[or~Im(T)]=\left\{ T(\textbf{v})~|~\textbf{v}\in V\right\}$$

 

ex1.

$\left\{ \textbf{e}_{1},~\textbf{e}_{2},~\textbf{e}_{3},~\textbf{e}_{4}\right\}$를 $\mathbb{R}^{4}$의 표준기저라 하고 $T~:~\mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3}$은

$$T(\textbf{e}_{1})=\left ( 1,~2,~1 \right ),~T(\textbf{e}_{2})=\left ( 0,~1,~0 \right ),~T(\textbf{e}_{3})=\left ( 1,~3,~0 \right ),~T(\textbf{e}_{4})=\left ( 1,~1,~1 \right )$$

을 만족하는 선형변환이라 할 때, 치역의 기저와 $T$의 핵을 구하시오.

 

sol1.

 

 

 

ex2.

실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 벡터공간 $\mathbb{R}^{3}$에 관련된 <보기>의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2010학년도 기출]

<보기> 선형사상 $$T~:~\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{3},~T(x,~y,~z)=(x-y,~2y,~x-3z)$$ 에 대하여 $T$의 핵(kernel) $ker(T)$의 차원은 1이다.

sol2.

 

 

 

Def. (선형변환의 행렬 표현)

$n$차원 벡터공간 $V$와 $m$차원 벡터공간 $W$에 대하여 $B=\left\{\textbf{u}_{1},~\cdots ,~\textbf{u}_{n} \right\}$와 $B'$은 각각 $V,~W$의 기저라 하자. 그러면 선형변환 $T~:~V\to W$와 $x\in V$에 대하여

$$\left [ T \right ]_{B',~B}\left [ \textbf{x} \right ]_{B}=\left [ T(\textbf{x}) \right ]_{B'}$$

이 성립한다. 여기서 $\left [ T \right ]_{B',~B}=\left [ \left [ T(\textbf{u}_{1}) \right ]_{B'}~|~\cdots ~|~\left [ T(\textbf{u}_{n}) \right ]_{B'} \right ]$이다. $B=B'$인 경우 $\left [ T \right ]_{B',~B}=\left [ T \right ]_{B}$로 표현한다.

 

ex3.

$B=\left\{\textbf{u}_{1},~\textbf{u}_{2},~\textbf{u}_{3} \right\}$를 벡터공간 $V$의 기저라 하고 $T~:~V\to V$를 $\left [ T \right ]_{B}=\begin{bmatrix}
-3 & 4 & 7 \\
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}$을 만족하는 선형연산자라 하자. $B'=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\textbf{v}_{3} \right\}$가 

$$\textbf{v}_{1}=\textbf{u}_{1},~\textbf{v}_{2}=\textbf{u}_{1}+\textbf{u}_{2},~\textbf{v}_{3}=\textbf{u}_{1}+\textbf{u}_{2}+\textbf{u}_{3}$$

로 정의되는 $V$의 기저일 때 $\left [ T \right ]_{B'}$을 구하시오.

 

sol3.

 

 

** 선형연산자 행렬의 기저변경

Thm.

$T~:~V\to V$를 유한차원 벡터공간 $V$상의 선형연산자라 하고 $B$와 $B'$을 $V$의 기저라 하면

$$\left [ T \right ]_{B'}=P^{-1}\left [ T \right ]_{B}P$$

가 성립하고 여기서 $P$는 $B'$에서 $B$로의 추이행렬이다.

 

ex4.

$2$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{2}$의 단위벡터(unit vector) $\textbf{u}$에 대하여 선형사상 $T~:~\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$을 

$$T(\textbf{x})=\textbf{x}-2\left ( \textbf{x}\cdot \textbf{u} \right )\textbf{u}$$

로 정의하자. 모든 벡터 $\textbf{x}$에 대하여 $\left\|T(\textbf{x}) \right\|=\left\|\textbf{x} \right\|$임을 보이시오. 또한 $\textbf{u}=\left ( \frac{1}{\sqrt{2}},~\frac{1}{\sqrt{2}} \right )$일 때, $\mathbb{R}^{2}$의 기저(basis) $B=\left\{\left ( 1,~0 \right ),~\left ( 1,~1 \right ) \right\}$에 대한 $T$의 행렬 $\left [ T \right ]_{B}$를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 두 벡터 $\textbf{x},~\textbf{y}$에 대하여 $\textbf{x}\cdot \textbf{y}$는 $\textbf{x}$와 $\textbf{y}$의 점곱(유클리드 내적, dot product, Euclidean inner product)이고, $\left\| \textbf{x}\right\|$은 $\textbf{x}$의 유클리드 노름(Euclidean norm)이다.) [2016학년도 기출]

 

sol4.

 

 

 

ex5.

$T~:~M_{22}\to M_{22}$를

$$T(X)=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}X+X\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}$$

로 정의되는 선형연산자라 하자. $T$의 계수와 퇴화차수를 구하시오.

 

sol5.

 

 

 

ex6.

실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 벡터공간 $V=\left\{ \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}~|~a,~b,~c,~d\in \mathbb{R}\right\}$와 행렬 $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 3 \\
\end{pmatrix}$에 대하여 선형사상 $L~:~V\to V$를 $L(B)=AB-BA$로 정의하자. $V$의 부분공간(subspace)

$$im(L)=\left\{ L(B)~|~B\in V\right\}$$

의 차원은? [2012학년도 기출]

 

sol6.