행공간(row space), 열공간(column space), 영공간(null space)

$A$가 $m\times n$ 행렬일 때

$A$의 행공간(row space) : $A$의 행벡터가 생성하는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분공간

$A$의 열공간(column space) : $A$의 열벡터가 생성하는 \mathbb{R}^{m}$의 부분공간

$A$의 영공간(null space) : $\left\{ \textbf{x}\in \mathbb{R}^{n}|A\textbf{x}=0\right\}$

각각을 row($A$), col($A$), null($A$)로 표기한다.

 

ex) 

$$A=\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\
3 & -2 & 1 & 4 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 3 & 5 & 7 & 8 \\
\end{bmatrix}$$

sol) 

$$A=\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\
3 & -2 & 1 & 4 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 3 & 5 & 7 & 8 \\
\end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}$$

행공간의 기저 : $\left\{\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix} \right\}$

행공간 = $\left\{ s\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}~|~s,~t\in \mathbb{R}\right\}$ or $span\left\{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}\right\}$

열공간의 기저 : $\left\{ \begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
-1 \\
2\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
4 \\
-2 \\
0 \\
3\end{bmatrix}\right\}$

** 열공간의 기저는 기약행사다리꼴의 열을 가져오지 않고 보통 원래의 행렬인 $A$의 열의 원소 중에서 구한다.

열공간 = $\left\{ s\begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
-1 \\
2\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}
4 \\
-2 \\
0 \\
3\end{bmatrix}~|~s,~t\in \mathbb{R}\right\}$ or $span\left\{ \begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
-1 \\
2\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
4 \\
-2 \\
0 \\
3\end{bmatrix}\right\}$

영공간의 기저 : $\left\{\begin{bmatrix}
-1 \\
-1 \\
1 \\
0 \\
0\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
0 \\
1 \\
0\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
-1 \\
-2 \\
0 \\
0 \\
1\end{bmatrix}\right\}$

영공간 = $\left\{ s\begin{bmatrix}
-1 \\
-1 \\
1 \\
0 \\
0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
0 \\
1 \\
0\end{bmatrix}+u\begin{bmatrix}
-1 \\
-2 \\
0 \\
0 \\
1\end{bmatrix}~|~s,~t,~u\in \mathbb{R}\right\}$ or $span\left\{ \begin{bmatrix}
-1 \\
-1 \\
1 \\
0 \\
0\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
0 \\
1 \\
0\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
-1 \\
-2 \\
0 \\
0 \\
1\end{bmatrix}\right\}$