내적(inner product)

$\textbf{u}=\left ( u_{1},~\cdots ,~u_{n} \right ),~\textbf{v}=\left ( v_{1},~\cdots ,~v_{n} \right )$에 대하여

$$<\textbf{u},~\textbf{v}>=u_{1}v_{1}+~\cdots ~+u_{n}v_{n}$$

이라 정의하면, $<\textbf{u},~\textbf{v}>$는 $\mathbb{R}^{n}$상의 내적이다. 

이 내적을 유클리드 내적(Euclidean inner product) 또는 표준내적(standard inner product)이라 한다.

 

$V$를 내적공간이라 할 때 $V$의 벡터 $\textbf{u}$의 노름(norm) 또는 길이(length)를 $\left\|u \right\|$로 표시하고

$$\left\|u \right\|=<\textbf{u},~\textbf{u}>^{1/2}$$

로 정의한다. 두 점(벡터) $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$ 사이의 거리(distance)는 $d\left ( \textbf{u},~\textbf{v} \right )$로 표시하고

$$d\left ( \textbf{u},~\textbf{v} \right )=\left\| \textbf{u}-\textbf{v}\right\|$$

로 정의한다.

 

** Cauchy-Schwarz 부등식

실내적공간의 벡터 $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\left|<\textbf{u},~\textbf{v}> \right|\leq \left\|\textbf{u} \right\|\left\| \textbf{v}\right\|$$

 

** 내적공간에서 각과 직교

내적공간 $V$에서 $\textbf{0}$이 아닌 두 원소 $\textbf{u}$, $\textbf{v}$에 대하여

$$cos\theta =\frac{<\textbf{u},~\textbf{v}>}{\left\| \textbf{u}\right\|\left\| \textbf{v}\right\|}$$

를 만족하는 $\theta\in \left [ 0,~\pi  \right ] $가 유일하게 존재한다.

이때의 $\theta$를 벡터  $\textbf{u}$, $\textbf{v}$의 각이라 정의한다.

 

내적공간의 두 벡터  $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$가 $\left<\textbf{u},~\textbf{v} \right>=0$을 만족하게 될 때 $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$는 직교(orthogonal)한다고 한다.

 

** 정규직교기저

내적공간의 벡터집합에 대하여 서로 다른 임의의 두 벡터가 직교할 때 이 집합을 직교집합(orthogonal set)이라 한다.

각 벡터의 노름이 1인 벡터만으로 구성되는 직교집합을 정규직교집합(orthonormal set)이라 한다.

 

Thm.

내적공간 $V$의 정규직교기저를 $S=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$이라 할 때 $V$의 임의의 벡터 $\textbf{u}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\textbf{u}=\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{1}\right>\textbf{v}_{1}+\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{2}\right>\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{n}\right>\textbf{v}_{n}$$

 

** 정규직교기저가 아닌 기저로 직교기저를 구하는 방법(직교화) => Gram-Schmidt방법

$n$개의 일차독립인 벡터 $\left\{ \textbf{u}_{1},~\textbf{u}_{2},~\cdots ,~\textbf{u}_{n}\right\}$을 직교화하는 방법

1. $\textbf{v}_{1}=\textbf{u}_{1}$

2. $\textbf{v}_{2}=\textbf{u}_{2}-\frac{\left< \textbf{u}_{2},~\textbf{v}_{1}\right>}{\left< \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{1}\right>}\textbf{v}_{1}$

3. $\textbf{v}_{2}\textbf{v}_{3}=\textbf{u}_{3}-\frac{\left< \textbf{u}_{3},~\textbf{v}_{1}\right>}{\left< \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{1}\right>}\textbf{v}_{1}-\frac{\left< \textbf{u}_{3},~\textbf{v}_{2}\right>}{\left< \textbf{v}_{2},~\textbf{v}_{2}\right>}\textbf{v}_{2}$

4. 위의 과정을 반복하면 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$은 직교집합이 된다.(**정규는아니다.)

 

ex) 유클리드 내적을 갖는 $\mathbb{R}^{3}$의 기저

$$\textbf{u}_{1}=\left ( 1,~1,~1 \right ),~\textbf{u}_{2}=\left ( 0,~1,~1 \right ),~\textbf{u}_{3}=\left ( 0,~0,~1 \right )$$

에 Gram-Schmidt방법을 사용하여 정규직교기저 $\left\{ \textbf{q}_{1},~\textbf{q}_{2},~\textbf{q}_{3}\right\}$를 구하시오.

 

sol)