정사영(orthogonal projection)

$W$를 내적공간 $V$의 부분공간이라 하자. $V$의 벡터 $u$가 $W$의 모든 벡터와 수직일 때 벡터 $u$는 $W$와 직교한다(orthogonal to $W$)고 하고, $W$와 직교하는 $V$의 모든 벡터 집합을 $W$의 직교여공간(orthogonal complement of W)이라 하고 $W^{\perp }$라 표기한다.

 

Thm1.

$W$가 유한차원인 내적공간 $V$의 부분공간이면 다음이 성립한다.

(1) $W^{\perp }$는 $V$의 부분공간이다.

(2) $W\cap W^{\perp }=\left\{0 \right\}$

(3) $\left (  W^{\perp } \right )^{\perp }=W$

 

Thm2.

$A$가 $m\times n$행렬이면 다음이 성립한다.

(1) $A$의 영공간과 $A$의 행공간은 서로 유클리드 내적에 관한 $\mathbb{R}^{n}$의 직교여공간이다.

(2) $A^{T}$의 영공간과 $A$의 열공간은 서로 유클리드 내적에 관한 $\mathbb{R}^{m}$의 직교여공간이다.

 

ex) 다음 벡터가 생성하는 $\mathbb{R}^{4}$의 부분공간의 직교여공간에 대한 기저를 구하시오.

$$\textbf{v}_{1}=\left ( 1,~4,~5,~2 \right ),~\textbf{v}_{2}=\left ( 2,~1,~3,~0 \right ),~\textbf{v}_{3}=\left ( -1,~3,~2,~2 \right )$$

sol)

 

 

 

$W$가 $V$의 유한차원 부분공간이라 하자.

임의의 $\textbf{u}\in V$에 대하여 $\textbf{u}=\textbf{w}_{1}+\textbf{w}_{2}$을 만족하는 $\textbf{w}_{1}\in W$와 $\textbf{w}_{2}\in W^{\perp }$가 존재하는데 이때 $\textbf{w}_{1}$을 $W$로의 $\textbf{u}$의 정사영(orthogonal projection)이라 하고 $\textbf{w}_{1}=proj_{W}\textbf{u}$로 표현한다.

또한 $\textbf{w}_{2}$는 $W$에 관한 $\textbf{u}$의 직교성분(orthogonal component)이라 하고 $\textbf{w}_{2}=proj_{W^{\perp }}\textbf{u}$로 표현한다.

**$\textbf{u}=proj_{W}\textbf{u}+proj_{W^{\perp }}\textbf{u}$

 

Thm.

(1) $W$의 정규직교기저 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{r}\right\}$와  $\textbf{u}\in V$에 대하여 다음이 성립한다.

$$proj_{W}\textbf{u}=\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{1}\right>\textbf{v}_{1}+\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{2}\right>\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{r}\right>\textbf{v}_{r}$$

(2) $W$의 직교기저 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{r}\right\}$와 $\textbf{u}\in V$에 대하여 다음이 성립한다.

$$proj_{W}\textbf{u}=\frac{\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{1}\right>}{\left\|\textbf{v}_{1} \right\|^{2}}\textbf{v}_{1}+\frac{\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{2}\right>}{\left\| \textbf{v}_{2}\right\|^{2}}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+\frac{\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{r}\right>}{\left\| \textbf{v}_{r}\right\|^{2}}\textbf{v}_{r}$$

 

ex) $\textbf{v}_{1}=\left ( 1,~0,~-1,~1 \right ),~\textbf{v}_{2}=\left ( 0,~2,~0,~0 \right ),~\textbf{v}_{3}=\left ( 0,~0,~1,~-1 \right )$가 생성하는 공간을 $W$라 할 때, $\textbf{u}=\left ( 2,~3,~1,~0 \right )$에 대하여 $proj_{W}\textbf{u}$와 $W$에 관한 $\textbf{u}$의 직교성분을 구하시오.

 

sol)