수학생 Juicy

$A$가 $m\times n$ 행렬일 때

$A$의 행공간(row space) : $A$의 행벡터가 생성하는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분공간

$A$의 열공간(column space) : $A$의 열벡터가 생성하는 \mathbb{R}^{m}$의 부분공간

$A$의 영공간(null space) : $\left\{ \textbf{x}\in \mathbb{R}^{n}|A\textbf{x}=0\right\}$

각각을 row($A$), col($A$), null($A$)로 표기한다.

ex) 

$$A=\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\
3 & -2 & 1 & 4 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 3 & 5 & 7 & 8 \\
\end{bmatrix}$$

sol) 

$$A=\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\
3 & -2 & 1 & 4 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 3 & 5 & 7 & 8 \\
\end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}$$

행공간의 기저 : $\left\{\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix} \right\}$

행공간 = $\left\{ s\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}~|~s,~t\in \mathbb{R}\right\}$ or $span\left\{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}\right\}$

열공간의 기저 : $\left\{ \begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
-1 \\
2\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
4 \\
-2 \\
0 \\
3\end{bmatrix}\right\}$

** 열공간의 기저는 기약행사다리꼴의 열을 가져오지 않고 보통 원래의 행렬인 $A$의 열의 원소 중에서 구한다.

열공간 = $\left\{ s\begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
-1 \\
2\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}
4 \\
-2 \\
0 \\
3\end{bmatrix}~|~s,~t\in \mathbb{R}\right\}$ or $span\left\{ \begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
-1 \\
2\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
4 \\
-2 \\
0 \\
3\end{bmatrix}\right\}$

영공간의 기저 : $\left\{\begin{bmatrix}
-1 \\
-1 \\
1 \\
0 \\
0\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
0 \\
1 \\
0\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
-1 \\
-2 \\
0 \\
0 \\
1\end{bmatrix}\right\}$

영공간 = $\left\{ s\begin{bmatrix}
-1 \\
-1 \\
1 \\
0 \\
0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
0 \\
1 \\
0\end{bmatrix}+u\begin{bmatrix}
-1 \\
-2 \\
0 \\
0 \\
1\end{bmatrix}~|~s,~t,~u\in \mathbb{R}\right\}$ or $span\left\{ \begin{bmatrix}
-1 \\
-1 \\
1 \\
0 \\
0\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
0 \\
1 \\
0\end{bmatrix},~\begin{bmatrix}
-1 \\
-2 \\
0 \\
0 \\
1\end{bmatrix}\right\}$

$B=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$가 벡터공간 $V$의 기저이고

$$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$

이 기저 $B$에 의한 벡터 $\textbf{v}$의 표현일 때 스칼라 $c_{1}$, $c_{2}$, $\cdots $, $c_{n}$을 기저 $B$에 관한 $v$의 좌표벡터(coordinate vector of $\textbf{v}$ relative to $B$)라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$\left [ \textbf{v} \right ]_{B}=\left [ c_{1},~c_{2},~\cdots ,~c_{n} \right ]^{T}$$

$n$차원 벡터공간 $V$의 기저 $B$와 $B'=\left\{ \textbf{u}_{1}',~\cdots ,~\textbf{u}_{n}'\right\}$에 대하여 행렬

$$P=\left [ \left [ \textbf{u}_{1}'\right ]_{B} |~\cdots ~|\left [ \textbf{u}_{n}' \right ]_{B} \right ]$$

를 $B'$에서 $B$로의 추이행렬(전이행렬, transition matrix)이라 한다.

Thm1.

유한차원 벡터공간 $V$의 기저 $B$, $B'$과 벡터 $\textbf{v}\in V$에 대하여 $B'$에서 $B$로의 추이행렬을 $P$라 하면 

$$\left [ \textbf{v} \right ]_{B}=P\left [ \textbf{v} \right ]_{B'}$$

이 성립한다.

Thm2.

$P$가 유한차원 벡터공간 $V$에 대해서 기저 $B'$에서 기저 $B$로의 추이행렬이면, $P$는 가역이고 $P^{-1}$은 $B$에서 $B'$으로의 추이행렬이다.

$V$가 임의의 벡터공간이고 $B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 $V$의 벡터집합일 때 $B$가 다음 두 조건을 만족하면 $B$를 $V$의 기저(basis)라 한다.

(1) $B$는 일차독립이다.

(2) $B$는 $V$를 생성한다.

$B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 벡터공간 $V$의 기저이면 $V$에 속하는 모든 벡터는 

$$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$

인 형식으로 유일하게 표현될 수 있다.

$\mathbb{R}^{n}$ 의 원소

$$\textbf{e}_{1}=\left ( 1,~0,~0,~\cdots ,~0 \right ),~\textbf{e}_{2}=(0,~1,~0,~\cdots ,~0),~\cdots ,~\textbf{e}_{n}=(0,~0,~0,~\cdots ,~1)$$

에 대하여 $B=\left\{\textbf{e}_{1},~\cdots ,~\textbf{e}_{n} \right\}를 $$\mathbb{R}^{n}$의 표준기저(standard basis)라 한다.

$S=~\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{r}\right\}$을 공집합이 아닌 벡터집합이라 하면 이 경우 벡터방정식

$$k_{1}\textbf{v}_{1}+k_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+k_{r}\textbf{v}_{r}=0$$

은 적어도 하나의 해, 즉

$$k_{1}=0,~k_{2}=0, ~\cdots ,~k_{r}=0$$

을 갖는다. 만일 이것이 유일한 해라면 $S$를 일차독립(linearly independent)집합이라 하고 다른 해도 가질 때 $S$는 일차종속(linearly dependent)집합이라 한다.

Thm.

(1) 영켁터를 포함하는 벡터의 유한집합은 일차종속이다.

(2) 두 벡터만을 갖는 집합이 일차종속이기 위한 필요충분조건은 이들 벡터 중의 하나가 다른 벡터의 스칼라곱이 되는 것이다.

벡터 $\textbf{v}_{1}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$과 스칼라 $k_{1}$, $\cdots $, $k_{r}$에 대하여 다음과 같은 형태

$$\textbf{}k_{1}\textbf{v}_{1}+k_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+k_{r}\textbf{v}_{r}$$

을 $\textbf{v}_{1}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$의 일차결합(linear combination)이라 한다.

벡터공간 $V$의 부분집합 $S=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots,  \textbf{v}_{r} \right\}$에 대하여 $V$의 부분공간

$$W=\left\{ c_{1}\textbf{v}_{1}+~\cdots ~+c_{r}\textbf{v}_{r}~|~c_{1},~\cdots ,c_{r}\in \mathbb{R}\right\}$$

를 $\textbf{v}_{1}$, $\textbf{v}_{2}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$이 생성하는 공간이라 하고, 벡터 $\textbf{v}_{1}$, $\textbf{v}_{2}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$은 $W$를 생성한다(span)고 한다.

그리고 

$W$=span($S$) 또는 $W=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots,  \textbf{v}_{r} \right\}$

로 표기한다.

벡터공간 $V$의 부분공간 $W_{1}$, $W_{2}$에 대하여

(1) $W_{1}\cap W_{2}=\left\{ 0\right\}$

(2) $V=W_{1}+W_{2}$

를 만족할 때, $V$는 $W_{1}$, $W_{2}$의 직합(direct sum)이라 하고 $V=W_{1}\oplus W_{2}$으로 표현한다.

벡터공간 $V$의 부분집합 $W(\neq \o )$$가 $V$상에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 관하여 그 자체로 벡터공간을 이룰 때 $W$를 $V$의 부분공간이라 한다. 기호로는 $W\leq V$와 같이 표현한다.

** 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음 (1), (2)를 만족하는 것

(1) $\textbf{u}$, $\textbf{v}$가 $W$의 벡터이면, $\textbf{u}+\textbf{v}$도 $W$의 벡터이다.

(2) $k$가 임의의 스칼라이고 $\textbf{u}$가 $W$의 벡터이면, $k\textbf{u}$도 $W$의 벡터이다.

두 함수 

$$\oplus:V\times V\to V,~\odot:\mathbb{R\times V\to V} $$

에 대하여 다음 모든 공리가 $V$의 모든 원소 $u$, $v$, $w$와 모든 스칼라 $k$, $l$에 대하여 만족될 때

$V$를 벡터공간(vector space)이라 하고 $V$의 원소를 벡터(vector)라 부른다.

1. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}\in V$

2. $\textbf{u}\oplus (\textbf{v}\oplus \textbf{w})=(\textbf{u}\oplus \textbf{v})\oplus \textbf{w}$

3. $\exists \textbf{0} \in V$ s.t. $\forall \textbf{u}$, $\textbf{0}\oplus \textbf{u}=\textbf{u}\oplus \textbf{0}=\textbf{u}$.

4. $\forall \textbf{u}$, $\exists \textbf{v} \in V$, s.t. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}=\textbf{v}\oplus \textbf{u}=\textbf{0}$. 이때, $\textbf{v}=-\textbf{u}$라 표기한다.

5. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}=\textbf{v}\oplus \textbf{u}$

6. $k\odot \textbf{u}\in V$

7. $k\odot (\textbf{u}\oplus \textbf{v})=(k\odot \textbf{u})\oplus (k\odot \textbf{v})$

8. $(k+l)\odot \textbf{u}=(k\odot \textbf{u})\oplus (l\odot \textbf{u})$

9. $k\odot (l\odot \textbf{u})=(kl)\odot \textbf{u}$

10. $\textbf{1}\odot \textbf{u}=\textbf{u}$