수학생 Juicy

$S=~\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{r}\right\}$을 공집합이 아닌 벡터집합이라 하면 이 경우 벡터방정식 $$k_{1}\textbf{v}_{1}+k_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+k_{r}\textbf{v}_{r}=0$$ 은 적어도 하나의 해, 즉 $$k_{1}=0,~k_{2}=0, ~\cdots ,~k_{r}=0$$ 을 갖는다. 만일 이것이 유일한 해라면 $S$를 일차독립(linearly independent)집합이라 하고 다른 해도 가질 때 $S$는 일차종속(linearly dependent)집합이라 한다. Thm. (1) 영켁터를 포함하는 벡터의 유한집합은 일차종속이다. (2) 두 벡터만을 갖는..

벡터 $\textbf{v}_{1}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$과 스칼라 $k_{1}$, $\cdots $, $k_{r}$에 대하여 다음과 같은 형태 $$\textbf{}k_{1}\textbf{v}_{1}+k_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+k_{r}\textbf{v}_{r}$$ 을 $\textbf{v}_{1}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$의 일차결합(linear combination)이라 한다. 벡터공간 $V$의 부분집합 $S=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots, \textbf{v}_{r} \right\}$에 대하여 $V$의 부분공간 $$W=\left\{ c_{1}\textbf{v}_{1}+..

벡터공간 $V$의 부분공간 $W_{1}$, $W_{2}$에 대하여 (1) $W_{1}\cap W_{2}=\left\{ 0\right\}$ (2) $V=W_{1}+W_{2}$ 를 만족할 때, $V$는 $W_{1}$, $W_{2}$의 직합(direct sum)이라 하고 $V=W_{1}\oplus W_{2}$으로 표현한다.

벡터공간 $V$의 부분집합 $W(\neq \o )$$가 $V$상에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 관하여 그 자체로 벡터공간을 이룰 때 $W$를 $V$의 부분공간이라 한다. 기호로는 $W\leq V$와 같이 표현한다. ** 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음 (1), (2)를 만족하는 것 (1) $\textbf{u}$, $\textbf{v}$가 $W$의 벡터이면, $\textbf{u}+\textbf{v}$도 $W$의 벡터이다. (2) $k$가 임의의 스칼라이고 $\textbf{u}$가 $W$의 벡터이면, $k\textbf{u}$도 $W$의 벡터이다.

두 함수 $$\oplus:V\times V\to V,~\odot:\mathbb{R\times V\to V} $$ 에 대하여 다음 모든 공리가 $V$의 모든 원소 $u$, $v$, $w$와 모든 스칼라 $k$, $l$에 대하여 만족될 때 $V$를 벡터공간(vector space)이라 하고 $V$의 원소를 벡터(vector)라 부른다. 1. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}\in V$ 2. $\textbf{u}\oplus (\textbf{v}\oplus \textbf{w})=(\textbf{u}\oplus \textbf{v})\oplus \textbf{w}$ 3. $\exists \textbf{0} \in V$ s.t. $\forall \textbf{u}$, $\textbf{0}\oplus..

가나다라 - abcd - 기타 순으로 배열 ㄱ 가역행렬(정칙행렬, nonsingular matrix) : 역행렬을 가질 수 있는 행렬 가우스-조르단의 소거법(Gauss-Fordan elimination) : 기약행 사다리꼴을 구하기 위해 행렬을 변환하는 과정 가우스 소거(Gauss elimination) : 행 사다리꼴을 구하기 위해 행렬을 변환하는 과정 가우스 행렬(Gauss matrix) : https://mathngju.tistory.com/32 계수(rank) : https://mathngju.tistory.com/47 고유공간(eigenspace) : 고유 다항식(characteristic polynomial) : 고유벡터(eigenvector) : 고윳값(eigenvalue) : 기본행연산(e..

다음 세 가지 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라 한다. 1. 한 행에 영이 아닌 상수를 모두 곱한다. 2. 두 행을 교환한다. 3. 한 행의 배수를 다른 행에 더한다. ex) $A~=~\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &..

$A$를 $n\times n$행렬, $C_{ij}$를 $A$의 $a_{ij}$의 성분의 여인수라 할 때, 행렬 $\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \\ \end{bmatrix}$을 $A$의 여인수행렬(matrix of cofactors from $A$)라고 한다. 더보기 여인수 : https://mathngju.tistory.com/35 행렬식 ** $1\times 1$의 경우 $A~=~\begin{bmatrix} a_{11}\end{bmatrix}$ 에 대하여 $d..

** $1\times 1$의 경우 $A~=~\begin{bmatrix} a_{11}\end{bmatrix}$ 에 대하여 $det(A)=a_{11}$ 으로 정의한다. ** $n\times n ~ (n\geq 2)$의 경우 $$det(A)~=~a_{11}\left ( -1 \right )^{1+1}M_{11}~+~a_{12}\left ( -1 \right )^{1+2}M_{12}~+~\cdots ~+~a_{1n}\left ( -1 \right )^{1+n}M_{1n}$$ 여기서 $M_{1k}$는 $A$의 1행과 k열을 제외하고서 이루어진 부분행렬의 행렬식이다. $A$의 $i$행과 $j$열을 제외하고서 이루어진 부분행렬의 행렬식을 $M_{ij}$라 쓰고, $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$를 성분 ..

** $ 2\times 2 $ 행렬의 경우 $ A~=~\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} $ 이고 $ ad-bc\neq 0 $ 일 때 A의 역행렬은 다음 공식에 의하여 주어진다. $$ A^{-1}~=~\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}~=~\begin{bmatrix} \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\ -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\ \end{bmatrix} $$ ** $ 3\times 3 $ 이상의 행렬의 경우 $$A^{-1}~=~\frac{1}{det(A)}~adj(A)$$ $adj(A)$는 A의 수반행렬..