기저(basis)

$V$가 임의의 벡터공간이고 $B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 $V$의 벡터집합일 때 $B$가 다음 두 조건을 만족하면 $B$를 $V$의 기저(basis)라 한다.

(1) $B$는 일차독립이다.

(2) $B$는 $V$를 생성한다.

 

$B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 벡터공간 $V$의 기저이면 $V$에 속하는 모든 벡터는 

$$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$

인 형식으로 유일하게 표현될 수 있다.

 

$\mathbb{R}^{n}$ 의 원소

$$\textbf{e}_{1}=\left ( 1,~0,~0,~\cdots ,~0 \right ),~\textbf{e}_{2}=(0,~1,~0,~\cdots ,~0),~\cdots ,~\textbf{e}_{n}=(0,~0,~0,~\cdots ,~1)$$

에 대하여 $B=\left\{\textbf{e}_{1},~\cdots ,~\textbf{e}_{n} \right\}를 $$\mathbb{R}^{n}$의 표준기저(standard basis)라 한다.