동치명제

$A$가 $n\times n$ 행렬이고 $T_{A}~:~\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n},~T_{A}(\textbf{x})=A\textbf{x}$ 이면 다음은 동치이다.

(1) $A$는 가역이다.

(2) $A\textbf{x}=0$은 오직 자명해만을 갖는다.

(3) $A$의 기약행 사다리꼴(기약 가우스 행렬)은 $I_{n}$이다.

(4) $A$는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다.

(5) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 해를 갖는다. 

(6) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 오직 하나의 해를 갖는다.

(7) $det(A)\neq 0$

(8) $A$의 열벡터는 1차독립이다.

(9) $A$의 행벡터는 1차독립이다.

(10) $A$의 열벡터는 $\mathbb{R}^{n}$을 생성한다.

(11) $A$의 행벡터는 $\mathbb{R}^{n}$을 생성한다.

(12) $A$의 열벡터는 $\mathbb{R}^{n}$의 기저를 이룬다.

(13) $A$의 행벡터는 $\mathbb{R}^{n}$의 기저를 이룬다.

(14) $A$의 계수는 $n$이다.

(15) $A$의 퇴화차수는 0이다.

(16) $A$의 영공간의 직교여공간은 $\mathbb{R}^{n}$이다.

(17) $A$의 행공간의 직교여공간은 $\left\{ \textbf{0}\right\}$이다.

(18) $A^{T}A$는 가역이다.

(19) $T_{A}$의 치역은 $\mathbb{R}^{n}$이다.

(20) $T_{A}$는 1대1이다.