수학생 Juicy

Def.

$n\times n$ 행렬 $A$에 대하여

$$A\textbf{x}=\lambda \textbf{x}$$

를 만족하는 $\textbf{x}(\neq \textbf{0})\in \mathbb{R}^{n}$와 스칼라 $\lambda $가 존재하면, $\lambda $를 $A$의 고윳값(eigenvalue)이라 하고 $\textbf{x}$를 $\lambda $에 대응하는 $A$의 고유벡터(eigenvector)라 한다.

** $p(\lambda )=det(\lambda I-A)$를 $A$의 특성 다항식(고유 다항식, characteristic polynomial)이라 한다.

ex1.

행렬 $A=\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
7 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}$에 대한 보기의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2010학년도 기출]

sol1.

Def.

$\lambda $가 $A$의 고윳값일 때, $\lambda I-A$의 해공간을 $\lambda $에 대응하는 $A$의 고유공간(eigenspace)이라 한다.

** $k$가 양의 정수이고 $\lambda $가 행렬 $A$의 고윳값이며 $\textbf{x}$가 대응고유벡터이면, $\lambda^{k} $는 $A^{k}$의 고윳값이고 $\textbf{x}$는 \lambda ^{k}에 대응하는 $A^{k}$의 고유벡터이다.

ex2.

다음 행렬의 고유치(eigen value)와 고유공간(eigen space)을 구하시오. [2004학년도 기출]

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}$$

sol2.

ex3.

$3\times 3$행렬 $A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{bmatrix}$에 대하여, $A^{10}$의 고윳값(eigen values)과 고유벡터(eigenvector)를 모두 구하시오. [2000학년도 기출]

sol3.

Def.

정사각행렬 $A$에 대하여 $P^{-1}AP$가 대각행렬도 되는 가역행렬 $P$가 존재하면 $A$를 대각화 가능하다(diagonalizable)고 한다. 그리고 행렬 $P$는 $A$를 대각화한다(diagonalize)고 한다.

** $\lambda_{0} $를 $n\times n$ 행렬 $A$의 고윳값이라 하자.

(1) 기하학적 중복도(geometric multiplicity) : $\lambda_{0} $에 대응하는 고유공간의 차원

(2) 대수적 중복도(algebraic multiplicity) : $A$의 특성다항식에서 $\lambda-\lambda _{0}$의 차수

** $A$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 모든 고윳값에 대해서 기하학적 중복도가 대수적 중복도와 같은 것이다.

**$n$개의 일차독립인 고유벡터를 갖는 $n\times n$ 행렬 $A$를 대각화하는 방법

1. $A$의 고윳값 $\lambda_{1},~\lambda _{2},~\cdots ,~\lambda _{n} $과 $n$개의 일차독립인 고유벡터 $\textbf{x}_{1},~\textbf{x}_{2},~\cdots ,~\textbf{x}_{n}$을 구한다.

2. 행렬 $P=\left [ \textbf{x}_{1}~\textbf{x}_{2}~\cdots ~\textbf{x}_{n} \right ]$을 구성한다.

3. $P^{-1}AP$는 대각성분이 차례대로 $\lambda_{1},~\lambda _{2},~\cdots ,~\lambda _{n}$인 대각행렬이다.

ex4.

3차 정사각행렬 $A=\left ( a_{ij} \right )$가

$$A\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 \\
4 \\
8\end{bmatrix},~A\begin{bmatrix}
-1 \\
 0\\
1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 \\
0 \\
-2\end{bmatrix},~A\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 \\
-2 \\
0\end{bmatrix}$$

을 만족할 때, $A$의 고윳값(eigenvalue)을 모두 쓰시오. 또한, $a_{11}+a_{12}+a_{13}$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [2022학년도 기출]

sol4.

ex5.

행렬 $A=\begin{bmatrix}
3 & 2 & 2 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & -2 & 0 \\
\end{bmatrix}$에 대하여 $A=PDP^{-1}$을 만족하는 행렬 $D=\begin{bmatrix}
d_{1} & 0 & 0 \\
0 & d_{2} & 0 \\
0 & 0 & d_{3} \\
\end{bmatrix}$와 가역행렬 $P$를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 행렬 $A^{n}$의 2행 3열의 성분을 구하시오. (단, $d_{1}\leq d_{2}\leq d_{3}$이고 $n$은 자연수이다.) [2021학년도 기출]

sol.

Thm.

$n\times n$ 행렬 $A$의 고유 다항식에 대한 복소 해가 $\lambda _{1},~\lambda _{2},~\cdots ,~\lambda _{n}$라 하면 다음이 성립한다.

(1) $det(A)=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$

(2) $tr(A)=\lambda _{1}+\lambda _{2}+~\cdots ~+\lambda _{n}$

두 벡터공간 $V$와 $W$에 대하여 함수 $T~:~V\to W$가 다음 두 조건을 만족할 때 $T$는 동형사상(isomorphism)이라 한다.

(1) $T$는 전단사이다.

(2) $T$는 선형변환이다.

$V$에서 $W$로의 동형사상이 존재할 때, $V$와 $W$는 동형(isomorphic)이라 한다.

$A$가 $n\times n$ 행렬이고 $T_{A}~:~\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n},~T_{A}(\textbf{x})=A\textbf{x}$ 이면 다음은 동치이다.

(1) $A$는 가역이다.

(2) $A\textbf{x}=0$은 오직 자명해만을 갖는다.

(3) $A$의 기약행 사다리꼴(기약 가우스 행렬)은 $I_{n}$이다.

(4) $A$는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다.

(5) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 해를 갖는다. 

(6) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 오직 하나의 해를 갖는다.

(7) $det(A)\neq 0$

(8) $A$의 열벡터는 1차독립이다.

(9) $A$의 행벡터는 1차독립이다.

(10) $A$의 열벡터는 $\mathbb{R}^{n}$을 생성한다.

(11) $A$의 행벡터는 $\mathbb{R}^{n}$을 생성한다.

(12) $A$의 열벡터는 $\mathbb{R}^{n}$의 기저를 이룬다.

(13) $A$의 행벡터는 $\mathbb{R}^{n}$의 기저를 이룬다.

(14) $A$의 계수는 $n$이다.

(15) $A$의 퇴화차수는 0이다.

(16) $A$의 영공간의 직교여공간은 $\mathbb{R}^{n}$이다.

(17) $A$의 행공간의 직교여공간은 $\left\{ \textbf{0}\right\}$이다.

(18) $A^{T}A$는 가역이다.

(19) $T_{A}$의 치역은 $\mathbb{R}^{n}$이다.

(20) $T_{A}$는 1대1이다.

Def.

선형변환 $T~:~V\to W$에 대하여 $T$의 핵(kernel)과 $T$의 치역(range)을 각각 다음과 같이 정의한다.

$$ker(T)=\left\{ \textbf{v}\in V~|~T(\textbf{v})=\textbf{0}_{W}\right\},~R(T)[or~Im(T)]=\left\{ T(\textbf{v})~|~\textbf{v}\in V\right\}$$

ex1.

$\left\{ \textbf{e}_{1},~\textbf{e}_{2},~\textbf{e}_{3},~\textbf{e}_{4}\right\}$를 $\mathbb{R}^{4}$의 표준기저라 하고 $T~:~\mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3}$은

$$T(\textbf{e}_{1})=\left ( 1,~2,~1 \right ),~T(\textbf{e}_{2})=\left ( 0,~1,~0 \right ),~T(\textbf{e}_{3})=\left ( 1,~3,~0 \right ),~T(\textbf{e}_{4})=\left ( 1,~1,~1 \right )$$

을 만족하는 선형변환이라 할 때, 치역의 기저와 $T$의 핵을 구하시오.

sol1.

ex2.

실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 벡터공간 $\mathbb{R}^{3}$에 관련된 <보기>의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2010학년도 기출]

sol2.

Def. (선형변환의 행렬 표현)

$n$차원 벡터공간 $V$와 $m$차원 벡터공간 $W$에 대하여 $B=\left\{\textbf{u}_{1},~\cdots ,~\textbf{u}_{n} \right\}$와 $B'$은 각각 $V,~W$의 기저라 하자. 그러면 선형변환 $T~:~V\to W$와 $x\in V$에 대하여

$$\left [ T \right ]_{B',~B}\left [ \textbf{x} \right ]_{B}=\left [ T(\textbf{x}) \right ]_{B'}$$

이 성립한다. 여기서 $\left [ T \right ]_{B',~B}=\left [ \left [ T(\textbf{u}_{1}) \right ]_{B'}~|~\cdots ~|~\left [ T(\textbf{u}_{n}) \right ]_{B'} \right ]$이다. $B=B'$인 경우 $\left [ T \right ]_{B',~B}=\left [ T \right ]_{B}$로 표현한다.

ex3.

$B=\left\{\textbf{u}_{1},~\textbf{u}_{2},~\textbf{u}_{3} \right\}$를 벡터공간 $V$의 기저라 하고 $T~:~V\to V$를 $\left [ T \right ]_{B}=\begin{bmatrix}
-3 & 4 & 7 \\
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}$을 만족하는 선형연산자라 하자. $B'=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\textbf{v}_{3} \right\}$가 

$$\textbf{v}_{1}=\textbf{u}_{1},~\textbf{v}_{2}=\textbf{u}_{1}+\textbf{u}_{2},~\textbf{v}_{3}=\textbf{u}_{1}+\textbf{u}_{2}+\textbf{u}_{3}$$

로 정의되는 $V$의 기저일 때 $\left [ T \right ]_{B'}$을 구하시오.

sol3.

** 선형연산자 행렬의 기저변경

Thm.

$T~:~V\to V$를 유한차원 벡터공간 $V$상의 선형연산자라 하고 $B$와 $B'$을 $V$의 기저라 하면

$$\left [ T \right ]_{B'}=P^{-1}\left [ T \right ]_{B}P$$

가 성립하고 여기서 $P$는 $B'$에서 $B$로의 추이행렬이다.

ex4.

$2$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{2}$의 단위벡터(unit vector) $\textbf{u}$에 대하여 선형사상 $T~:~\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$을 

$$T(\textbf{x})=\textbf{x}-2\left ( \textbf{x}\cdot \textbf{u} \right )\textbf{u}$$

로 정의하자. 모든 벡터 $\textbf{x}$에 대하여 $\left\|T(\textbf{x}) \right\|=\left\|\textbf{x} \right\|$임을 보이시오. 또한 $\textbf{u}=\left ( \frac{1}{\sqrt{2}},~\frac{1}{\sqrt{2}} \right )$일 때, $\mathbb{R}^{2}$의 기저(basis) $B=\left\{\left ( 1,~0 \right ),~\left ( 1,~1 \right ) \right\}$에 대한 $T$의 행렬 $\left [ T \right ]_{B}$를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 두 벡터 $\textbf{x},~\textbf{y}$에 대하여 $\textbf{x}\cdot \textbf{y}$는 $\textbf{x}$와 $\textbf{y}$의 점곱(유클리드 내적, dot product, Euclidean inner product)이고, $\left\| \textbf{x}\right\|$은 $\textbf{x}$의 유클리드 노름(Euclidean norm)이다.) [2016학년도 기출]

sol4.

ex5.

$T~:~M_{22}\to M_{22}$를

$$T(X)=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}X+X\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}$$

로 정의되는 선형연산자라 하자. $T$의 계수와 퇴화차수를 구하시오.

sol5.

ex6.

실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 벡터공간 $V=\left\{ \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}~|~a,~b,~c,~d\in \mathbb{R}\right\}$와 행렬 $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 3 \\
\end{pmatrix}$에 대하여 선형사상 $L~:~V\to V$를 $L(B)=AB-BA$로 정의하자. $V$의 부분공간(subspace)

$$im(L)=\left\{ L(B)~|~B\in V\right\}$$

의 차원은? [2012학년도 기출]

sol6.

$T~:~V\to W$가 벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로의 함수일 때, $T$가 $V$의 모든 벡터 $\textbf{u},~\textbf{v}$와 모든 스칼라 $c$에 대해서 다음을 만족하면 $T$를 $V$에서 $W$로의 선형변환(선형사상, linear transformation)이라 한다.

(1) $T(\textbf{u}+\textbf{v})=T(\textbf{u})+T(\textbf{v})$

(2) $T(c\textbf{u})=cT(\textbf{u})$

특히 $V=W$일 때, 선형변환 $T~:~V\to V$를 $V$의 선형연산자(linear operator)라 한다.

선형변환 예)

(1) $W$를 내적공간 $V$의 유한차원 부분공간이라 하자.

$$T~:~V\to W,~T(\textbf{v})=proj_{W}\textbf{v}$$

(2) $V$를 내적공간이라 하고 $\textbf{v}_{0}$를 $V$의 임의의 고정벡터라 하자.

$$T~:~V\to \mathbb{R},~T(\textbf{v})=\left< \textbf{v},~\textbf{v}_{0}\right>$$

** 정사영 연산자

$\textbf{u}\in \mathbb{R}^{n}$가 단위벡터일 때, $T~:~\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$를

$$T(\textbf{x})=\left ( I-\textbf{u}\textbf{u}^{T} \right )\textbf{x}$$

라 정의하면 $T$는 $span\left\{ u\right\}$의 직교여공간에 대한 정사영이다.

=> 벡터 $\textbf{u}$가 만든 공간으로의 정사영이 아니라 $span\left\{ \textbf{u}\right\}$의 직교여공간으로의 정사영이라는 것에 주의하자!

=>표준행렬을 구하고 싶다면 단위벡터 u를 찾고 공식에 대입하면 구해진다!

(후.. 직선 그리는게 제일 어려운 것 같네여;)

**반사 연산자

$\textbf{u}\in \mathbb{R}^{n}$가 단위벡터일 때, $T~:~\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$를

$$T(\textbf{x})=\left ( I-2\textbf{u}\textbf{u}^{T} \right )\textbf{x}$$

라 정의하면 $T$는 $span\left\{\textbf{u} \right\}$의 직교여공간에 대한 반사이다.

**회전 연산자

반시계 방향으로 $\theta $만큼 회전 시키는 사상 $T~:~\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$에 대하여 $T$는 선형연산자이고 $T$에 대한 표준행렬은 $$\left [ T \right ]=\begin{bmatrix}
cos\theta  & -sin\theta  \\
sin\theta  & cos\theta  \\
\end{bmatrix}$$

으로 나타내진다.

$W$를 내적공간 $V$의 부분공간이라 하자. $V$의 벡터 $u$가 $W$의 모든 벡터와 수직일 때 벡터 $u$는 $W$와 직교한다(orthogonal to $W$)고 하고, $W$와 직교하는 $V$의 모든 벡터 집합을 $W$의 직교여공간(orthogonal complement of W)이라 하고 $W^{\perp }$라 표기한다.

Thm1.

$W$가 유한차원인 내적공간 $V$의 부분공간이면 다음이 성립한다.

(1) $W^{\perp }$는 $V$의 부분공간이다.

(2) $W\cap W^{\perp }=\left\{0 \right\}$

(3) $\left (  W^{\perp } \right )^{\perp }=W$

Thm2.

$A$가 $m\times n$행렬이면 다음이 성립한다.

(1) $A$의 영공간과 $A$의 행공간은 서로 유클리드 내적에 관한 $\mathbb{R}^{n}$의 직교여공간이다.

(2) $A^{T}$의 영공간과 $A$의 열공간은 서로 유클리드 내적에 관한 $\mathbb{R}^{m}$의 직교여공간이다.

ex) 다음 벡터가 생성하는 $\mathbb{R}^{4}$의 부분공간의 직교여공간에 대한 기저를 구하시오.

$$\textbf{v}_{1}=\left ( 1,~4,~5,~2 \right ),~\textbf{v}_{2}=\left ( 2,~1,~3,~0 \right ),~\textbf{v}_{3}=\left ( -1,~3,~2,~2 \right )$$

sol)

$W$가 $V$의 유한차원 부분공간이라 하자.

임의의 $\textbf{u}\in V$에 대하여 $\textbf{u}=\textbf{w}_{1}+\textbf{w}_{2}$을 만족하는 $\textbf{w}_{1}\in W$와 $\textbf{w}_{2}\in W^{\perp }$가 존재하는데 이때 $\textbf{w}_{1}$을 $W$로의 $\textbf{u}$의 정사영(orthogonal projection)이라 하고 $\textbf{w}_{1}=proj_{W}\textbf{u}$로 표현한다.

또한 $\textbf{w}_{2}$는 $W$에 관한 $\textbf{u}$의 직교성분(orthogonal component)이라 하고 $\textbf{w}_{2}=proj_{W^{\perp }}\textbf{u}$로 표현한다.

**$\textbf{u}=proj_{W}\textbf{u}+proj_{W^{\perp }}\textbf{u}$

Thm.

(1) $W$의 정규직교기저 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{r}\right\}$와  $\textbf{u}\in V$에 대하여 다음이 성립한다.

$$proj_{W}\textbf{u}=\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{1}\right>\textbf{v}_{1}+\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{2}\right>\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{r}\right>\textbf{v}_{r}$$

(2) $W$의 직교기저 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{r}\right\}$와 $\textbf{u}\in V$에 대하여 다음이 성립한다.

$$proj_{W}\textbf{u}=\frac{\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{1}\right>}{\left\|\textbf{v}_{1} \right\|^{2}}\textbf{v}_{1}+\frac{\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{2}\right>}{\left\| \textbf{v}_{2}\right\|^{2}}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+\frac{\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{r}\right>}{\left\| \textbf{v}_{r}\right\|^{2}}\textbf{v}_{r}$$

ex) $\textbf{v}_{1}=\left ( 1,~0,~-1,~1 \right ),~\textbf{v}_{2}=\left ( 0,~2,~0,~0 \right ),~\textbf{v}_{3}=\left ( 0,~0,~1,~-1 \right )$가 생성하는 공간을 $W$라 할 때, $\textbf{u}=\left ( 2,~3,~1,~0 \right )$에 대하여 $proj_{W}\textbf{u}$와 $W$에 관한 $\textbf{u}$의 직교성분을 구하시오.

sol)

$\textbf{u}=\left ( u_{1},~\cdots ,~u_{n} \right ),~\textbf{v}=\left ( v_{1},~\cdots ,~v_{n} \right )$에 대하여

$$<\textbf{u},~\textbf{v}>=u_{1}v_{1}+~\cdots ~+u_{n}v_{n}$$

이라 정의하면, $<\textbf{u},~\textbf{v}>$는 $\mathbb{R}^{n}$상의 내적이다. 

이 내적을 유클리드 내적(Euclidean inner product) 또는 표준내적(standard inner product)이라 한다.

$V$를 내적공간이라 할 때 $V$의 벡터 $\textbf{u}$의 노름(norm) 또는 길이(length)를 $\left\|u \right\|$로 표시하고

$$\left\|u \right\|=<\textbf{u},~\textbf{u}>^{1/2}$$

로 정의한다. 두 점(벡터) $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$ 사이의 거리(distance)는 $d\left ( \textbf{u},~\textbf{v} \right )$로 표시하고

$$d\left ( \textbf{u},~\textbf{v} \right )=\left\| \textbf{u}-\textbf{v}\right\|$$

로 정의한다.

** Cauchy-Schwarz 부등식

실내적공간의 벡터 $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\left|<\textbf{u},~\textbf{v}> \right|\leq \left\|\textbf{u} \right\|\left\| \textbf{v}\right\|$$

** 내적공간에서 각과 직교

내적공간 $V$에서 $\textbf{0}$이 아닌 두 원소 $\textbf{u}$, $\textbf{v}$에 대하여

$$cos\theta =\frac{<\textbf{u},~\textbf{v}>}{\left\| \textbf{u}\right\|\left\| \textbf{v}\right\|}$$

를 만족하는 $\theta\in \left [ 0,~\pi  \right ] $가 유일하게 존재한다.

이때의 $\theta$를 벡터  $\textbf{u}$, $\textbf{v}$의 각이라 정의한다.

내적공간의 두 벡터  $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$가 $\left<\textbf{u},~\textbf{v} \right>=0$을 만족하게 될 때 $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$는 직교(orthogonal)한다고 한다.

** 정규직교기저

내적공간의 벡터집합에 대하여 서로 다른 임의의 두 벡터가 직교할 때 이 집합을 직교집합(orthogonal set)이라 한다.

각 벡터의 노름이 1인 벡터만으로 구성되는 직교집합을 정규직교집합(orthonormal set)이라 한다.

Thm.

내적공간 $V$의 정규직교기저를 $S=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$이라 할 때 $V$의 임의의 벡터 $\textbf{u}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\textbf{u}=\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{1}\right>\textbf{v}_{1}+\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{2}\right>\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+\left< \textbf{u},~\textbf{v}_{n}\right>\textbf{v}_{n}$$

** 정규직교기저가 아닌 기저로 직교기저를 구하는 방법(직교화) => Gram-Schmidt방법

$n$개의 일차독립인 벡터 $\left\{ \textbf{u}_{1},~\textbf{u}_{2},~\cdots ,~\textbf{u}_{n}\right\}$을 직교화하는 방법

1. $\textbf{v}_{1}=\textbf{u}_{1}$

2. $\textbf{v}_{2}=\textbf{u}_{2}-\frac{\left< \textbf{u}_{2},~\textbf{v}_{1}\right>}{\left< \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{1}\right>}\textbf{v}_{1}$

3. $\textbf{v}_{2}\textbf{v}_{3}=\textbf{u}_{3}-\frac{\left< \textbf{u}_{3},~\textbf{v}_{1}\right>}{\left< \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{1}\right>}\textbf{v}_{1}-\frac{\left< \textbf{u}_{3},~\textbf{v}_{2}\right>}{\left< \textbf{v}_{2},~\textbf{v}_{2}\right>}\textbf{v}_{2}$

4. 위의 과정을 반복하면 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$은 직교집합이 된다.(**정규는아니다.)

ex) 유클리드 내적을 갖는 $\mathbb{R}^{3}$의 기저

$$\textbf{u}_{1}=\left ( 1,~1,~1 \right ),~\textbf{u}_{2}=\left ( 0,~1,~1 \right ),~\textbf{u}_{3}=\left ( 0,~0,~1 \right )$$

에 Gram-Schmidt방법을 사용하여 정규직교기저 $\left\{ \textbf{q}_{1},~\textbf{q}_{2},~\textbf{q}_{3}\right\}$를 구하시오.

sol)

문제는 꾸준히 업데이트 중입니다.

해답이 올라와 있지 않은 것은 아직 업데이트 되지 않은 것이므로 곧 업데이트하여 올릴 예정입니다.

순서대로 꼭 알고가야 할 것들 위주로 정리한 것이고 지극히 주관적인 생각이므로 참고만 해주세요.

Q1. 행렬 $A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오.

A1.

Q2. 행렬 $A=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 5 \\
-1 & 2 & 4 & 1 \\
3 & 0 & 0 & 3 \\
8 & 6 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오.

A2.

**역행렬을 구하는 문제는 뒤에서 많이 응용되어 나오기 때문에 완벽하게 익히고 다음문제로 넘어가야 한다고 생각한다.

** $3\times 3$ 뿐만아니라 $4\times 4$이상의 행렬들도 구체적으로 어떻게 구하는지 알아두면 좋다.

Q3. 각 성분이 실수인 $3\times 3$ 정칙행렬(가역행렬) $A$의 수반행렬(adjoint matrix)을 adj$A$라 할 때, <보기>의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2011학년도 기출]

A3.

Q4. 실수체 $\mathbb{R}$ 위의 벡터공간 $\mathbb{R}^{5}$에 속하는 벡터 $v_{1},~v_{2},~v_{3}$에 대하여 <보기>의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2013학년도 기출]

A4.

Q5. 론스키안을 이용하여 다음 벡터의 집합은 일차독립임을 밝히시오.

(1) $1,~x,~e^{x}$

(2) $1,~x,~x^{2}$

A5.

**일차종속과 일차독립은 확실히 구분할 수 있어야 한다.

**함수들(함수벡터)의 집합은 론스키안을 활용하여 일차독립임을 밝히는 것이 좋다.

Q6. 다음 $\mathbb{R}^{3}$의 부분공간의 기저를 구하시오.

(1) 평면 $3x-2y+5z=0$

(2) 평면 $x-y=0$

(3) 직선 $x=2t,~y=-t,~z=4t$

(4) $(a,~b,~c)$ 형태의 벡터 전체, 단 $b=a+c$라 한다.

A6.

Q7. $\textbf{p}_{1}=6+3x,~\textbf{p}_{2}=10+2x,~\textbf{q}_{1}=2,~\textbf{q}_{2}=3+2x$라고 할 때, 기저 $B=\left\{ \textbf{p}_{1},~\textbf{p}_{2}\right\},~B'=\left\{ \textbf{q}_{1},~\textbf{q}_{2}\right\}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $B'$에서 $B$로의 추이행렬을 구하시오.

(2) $B$에서 $B'$로의 추이행렬을 구하시오.

(3) $\textbf{p}=-4+x$에 대하여 좌표벡터 $\left [ \textbf{p} \right ]_{B}$를 구하시오. 또한 추이행렬을 사용해서 $\left [ \textbf{p} \right ]_{B'}$를 구하시오.

(4) $\left [ \textbf{p} \right ]_{B'}$를 직접적으로 계산해서 검산하시오.

A7.

Q8. 행렬 $A=\begin{bmatrix}
1 & -3 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 3 & 6 & 0 & -3 \\
2 & -3 & -2 & 4 & 4 \\
3 & -6 & 0 & 6 & 5 \\
-2 & 9 & 2 & -4 & -5 \\
\end{bmatrix}$의 영공간, 행공간에 대한 기저를 구하고 계수와 퇴화차수를 구하시오.

A8.

Q9. 다음 벡터가 생성하는 $\mathbb{R}^{4}$의 부분공간의 직교여공간에 대한 기저를 구하시오.

$$\textbf{v}_{1}=\left ( 1,~4,~5,~2 \right ),~\textbf{v}_{2}=\left ( 2,~1,~3,~0 \right ),~\textbf{v}_{3}=\left ( -1,~3,~2,~2 \right )$$

A9.

Q10. $\textbf{v}_{1}=\left ( 1,~0,~-1,~1 \right ),~\textbf{v}_{2}=\left ( 0,~2,~0,~0 \right ),~\textbf{v}_{3}=\left ( 0,~0,~1,~-1 \right )$가 생성하는 공간을 $W$라 할 때, $\textbf{u}=\left ( 2,~3,~1,~0 \right )$에 대하여 $proj_{W}\textbf{u}$와 $W$에 관한 $\textbf{u}$의 직교성분을 구하시오.

A10.

Q11.

$\left\{ \textbf{e}_{1},~\textbf{e}_{2},~\textbf{e}_{3},~\textbf{e}_{4}\right\}$를 $\mathbb{R}^{4}$의 표준기저라 하고 $T~:~\mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3}$은

$$T(\textbf{e}_{1})=\left ( 1,~2,~1 \right ),~T(\textbf{e}_{2})=\left ( 0,~1,~0 \right ),~T(\textbf{e}_{3})=\left ( 1,~3,~0 \right ),~T(\textbf{e}_{4})=\left ( 1,~1,~1 \right )$$

을 만족하는 선형변환이라 할 때, 치역의 기저와 $T$의 핵을 구하시오.

A11.

Q12.

실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 벡터공간 $\mathbb{R}^{3}$에 관련된 <보기>의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2010학년도 기출]

A12.

Q13.

$B=\left\{\textbf{u}_{1},~\textbf{u}_{2},~\textbf{u}_{3} \right\}$를 벡터공간 $V$의 기저라 하고 $T~:~V\to V$를 $\left [ T \right ]_{B}=\begin{bmatrix}
-3 & 4 & 7 \\
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}$을 만족하는 선형연산자라 하자. $B'=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\textbf{v}_{3} \right\}$가

$$\textbf{v}_{1}=\textbf{u}_{1},~\textbf{v}_{2}=\textbf{u}_{1}+\textbf{u}_{2},~\textbf{v}_{3}=\textbf{u}_{1}+\textbf{u}_{2}+\textbf{u}_{3}$$

로 정의되는 $V$의 기저일 때 $\left [ T \right ]_{B'}$을 구하시오.

A13.

Q14.

$2$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{2}$의 단위벡터(unit vector) $\textbf{u}$에 대하여 선형사상 $T~:~\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$을

$$T(\textbf{x})=\textbf{x}-2\left ( \textbf{x}\cdot \textbf{u} \right )\textbf{u}$$

로 정의하자. 모든 벡터 $\textbf{x}$에 대하여 $\left\|T(\textbf{x}) \right\|=\left\|\textbf{x} \right\|$임을 보이시오. 또한 $\textbf{u}=\left ( \frac{1}{\sqrt{2}},~\frac{1}{\sqrt{2}} \right )$일 때, $\mathbb{R}^{2}$의 기저(basis) $B=\left\{\left ( 1,~0 \right ),~\left ( 1,~1 \right ) \right\}$에 대한 $T$의 행렬 $\left [ T \right ]_{B}$를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 두 벡터 $\textbf{x},~\textbf{y}$에 대하여 $\textbf{x}\cdot \textbf{y}$는 $\textbf{x}$와 $\textbf{y}$의 점곱(유클리드 내적, dot product, Euclidean inner product)이고, $\left\| \textbf{x}\right\|$은 $\textbf{x}$의 유클리드 노름(Euclidean norm)이다.) [2016학년도 기출]

A14.

Q15.

$T~:~M_{22}\to M_{22}$를

$$T(X)=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}X+X\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}$$

로 정의되는 선형연산자라 하자. $T$의 계수와 퇴화차수를 구하시오.

A15.

Q16.

실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 벡터공간 $V=\left\{ \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}~|~a,~b,~c,~d\in \mathbb{R}\right\}$와 행렬 $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 3 \\
\end{pmatrix}$에 대하여 선형사상 $L~:~V\to V$를 $L(B)=AB-BA$로 정의하자. $V$의 부분공간(subspace)

$$im(L)=\left\{ L(B)~|~B\in V\right\}$$

의 차원은? [2012학년도 기출]

A16.

Q17.

행렬 $A=\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
7 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}$에 대한 보기의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2010학년도 기출]

A17.

Q18.

다음 행렬의 고유치(eigen value)와 고유공간(eigen space)을 구하시오. [2004학년도 기출]

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}$$

A18.

Q19.

$3\times 3$행렬 $A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{bmatrix}$에 대하여, $A^{10}$의 고윳값(eigen values)과 고유벡터(eigenvector)를 모두 구하시오. [2000학년도 기출]

A19.

Q20.

3차 정사각행렬 $A=\left ( a_{ij} \right )$가

$$A\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 \\
4 \\
8\end{bmatrix},~A\begin{bmatrix}
-1 \\
 0\\
1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 \\
0 \\
-2\end{bmatrix},~A\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 \\
-2 \\
0\end{bmatrix}$$

을 만족할 때, $A$의 고윳값(eigenvalue)을 모두 쓰시오. 또한, $a_{11}+a_{12}+a_{13}$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [2022학년도 기출]

A20.

Q21.

행렬 $A=\begin{bmatrix}
3 & 2 & 2 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & -2 & 0 \\
\end{bmatrix}$에 대하여 $A=PDP^{-1}$을 만족하는 행렬 $D=\begin{bmatrix}
d_{1} & 0 & 0 \\
0 & d_{2} & 0 \\
0 & 0 & d_{3} \\
\end{bmatrix}$와 가역행렬 $P$를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 행렬 $A^{n}$의 2행 3열의 성분을 구하시오. (단, $d_{1}\leq d_{2}\leq d_{3}$이고 $n$은 자연수이다.) [2021학년도 기출]

A21.