선형변환(선형사상, linear transformation)

$T~:~V\to W$가 벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로의 함수일 때, $T$가 $V$의 모든 벡터 $\textbf{u},~\textbf{v}$와 모든 스칼라 $c$에 대해서 다음을 만족하면 $T$를 $V$에서 $W$로의 선형변환(선형사상, linear transformation)이라 한다.

(1) $T(\textbf{u}+\textbf{v})=T(\textbf{u})+T(\textbf{v})$

(2) $T(c\textbf{u})=cT(\textbf{u})$

특히 $V=W$일 때, 선형변환 $T~:~V\to V$를 $V$의 선형연산자(linear operator)라 한다.

 

선형변환 예)

(1) $W$를 내적공간 $V$의 유한차원 부분공간이라 하자.

$$T~:~V\to W,~T(\textbf{v})=proj_{W}\textbf{v}$$

(2) $V$를 내적공간이라 하고 $\textbf{v}_{0}$를 $V$의 임의의 고정벡터라 하자.

$$T~:~V\to \mathbb{R},~T(\textbf{v})=\left< \textbf{v},~\textbf{v}_{0}\right>$$

 

** 정사영 연산자

$\textbf{u}\in \mathbb{R}^{n}$가 단위벡터일 때, $T~:~\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$를

$$T(\textbf{x})=\left ( I-\textbf{u}\textbf{u}^{T} \right )\textbf{x}$$

라 정의하면 $T$는 $span\left\{ u\right\}$의 직교여공간에 대한 정사영이다.

=> 벡터 $\textbf{u}$가 만든 공간으로의 정사영이 아니라 $span\left\{ \textbf{u}\right\}$의 직교여공간으로의 정사영이라는 것에 주의하자!

=>표준행렬을 구하고 싶다면 단위벡터 u를 찾고 공식에 대입하면 구해진다!

(후.. 직선 그리는게 제일 어려운 것 같네여;)

 

**반사 연산자

$\textbf{u}\in \mathbb{R}^{n}$가 단위벡터일 때, $T~:~\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$를

$$T(\textbf{x})=\left ( I-2\textbf{u}\textbf{u}^{T} \right )\textbf{x}$$

라 정의하면 $T$는 $span\left\{\textbf{u} \right\}$의 직교여공간에 대한 반사이다.

 

**회전 연산자

반시계 방향으로 $\theta $만큼 회전 시키는 사상 $T~:~\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$에 대하여 $T$는 선형연산자이고 $T$에 대한 표준행렬은 $$\left [ T \right ]=\begin{bmatrix}
cos\theta  & -sin\theta  \\
sin\theta  & cos\theta  \\
\end{bmatrix}$$

으로 나타내진다.