추이행렬(전이행렬, transition matrix)

$B=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$가 벡터공간 $V$의 기저이고

$$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$

이 기저 $B$에 의한 벡터 $\textbf{v}$의 표현일 때 스칼라 $c_{1}$, $c_{2}$, $\cdots $, $c_{n}$을 기저 $B$에 관한 $v$의 좌표벡터(coordinate vector of $\textbf{v}$ relative to $B$)라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$\left [ \textbf{v} \right ]_{B}=\left [ c_{1},~c_{2},~\cdots ,~c_{n} \right ]^{T}$$

 

$n$차원 벡터공간 $V$의 기저 $B$와 $B'=\left\{ \textbf{u}_{1}',~\cdots ,~\textbf{u}_{n}'\right\}$에 대하여 행렬

$$P=\left [ \left [ \textbf{u}_{1}'\right ]_{B} |~\cdots ~|\left [ \textbf{u}_{n}' \right ]_{B} \right ]$$

를 $B'$에서 $B$로의 추이행렬(전이행렬, transition matrix)이라 한다.

 

Thm1.

유한차원 벡터공간 $V$의 기저 $B$, $B'$과 벡터 $\textbf{v}\in V$에 대하여 $B'$에서 $B$로의 추이행렬을 $P$라 하면 

$$\left [ \textbf{v} \right ]_{B}=P\left [ \textbf{v} \right ]_{B'}$$

이 성립한다.

 

Thm2.

$P$가 유한차원 벡터공간 $V$에 대해서 기저 $B'$에서 기저 $B$로의 추이행렬이면, $P$는 가역이고 $P^{-1}$은 $B$에서 $B'$으로의 추이행렬이다.