행렬식

**  $1\times 1$의 경우

$A~=~\begin{bmatrix}
a_{11}\end{bmatrix}$ 에 대하여 $det(A)=a_{11}$ 으로 정의한다.

 

** $n\times n ~ (n\geq 2)$의 경우

$$det(A)~=~a_{11}\left ( -1 \right )^{1+1}M_{11}~+~a_{12}\left ( -1 \right )^{1+2}M_{12}~+~\cdots ~+~a_{1n}\left ( -1 \right )^{1+n}M_{1n}$$

여기서 $M_{1k}$는 $A$의 1행과 k열을 제외하고서 이루어진 부분행렬의 행렬식이다.

$A$의 $i$행과 $j$열을 제외하고서 이루어진 부분행렬의 행렬식을 $M_{ij}$라 쓰고, $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$를 성분 $a_{ij}$의 여인수(cofactor of entry $a_{ij}$)라고 한다.

 

$A$를 $n\times n$ 행렬이라 하면 다음이 성립한다.

(1) $B$를 $A$의 어떤 한 행 또는 한 열에 스칼라 $k$배 해서 만들어진 행렬이라 하면 $det(B)=kdet(A)$ 이다.

(2) $B$를 $A$의 두 행 또는 두 열을 교환해서 만들어진 행렬이라 하자. 그러면 $det(B)=-det(A)$ 이다.

(3) $B$를 $A$의 한 행에 몇 배 해서 다른 행에 더하든지 또는 한 열에 몇 배 해서 다른 열에 더하여 만들어진 행렬이라 하면 $det(B)=det(A)$ 이다.

 

ex)

$$\begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 4 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}~=~2\begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}~=~2\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\0
 &2  &1  &0  \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}~=~2(-1)\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}~=~2(-1)\left\{ (-1)\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1 \\
\end{vmatrix}\right\}~=~12$$

 

**  행렬식의 기본 성질

Thm1.

$det(A)=det(A^{T})$

($A^{T}$는 $A$의 전치행렬)

전치행렬(transpose matrix) : $(A^{T})_{ij}~=~A_{ji}$ : https://mathngju.tistory.com/34

 

Thm2.

$\forall k\in \mathbb{R}$, $det(kA)=k^{n}A$

 

Thm3.

$A$와 $B$가 같은 크기의 정사각행렬이면

$det(AB)=det(A)det(B)$가 성립한다.