역행렬구하기

**  $ 2\times 2 $ 행렬의 경우

$ A~=~\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix} $ 이고  $ ad-bc\neq 0 $ 일 때 A의 역행렬은 다음 공식에 의하여 주어진다.

$$ A^{-1}~=~\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{bmatrix}~=~\begin{bmatrix}
\frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\
-\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\
\end{bmatrix} $$

 

**  $ 3\times 3 $ 이상의 행렬의 경우

$$A^{-1}~=~\frac{1}{det(A)}~adj(A)$$

$adj(A)$는 A의 수반행렬(adjoint of A)이고 $det(A)$는 A의 행렬식이다.

수반행렬(adjoint of A) : 여인수행렬의 전치행렬 / 여인수행렬(matrix of cofactors from A) : https://mathngju.tistory.com/36

행렬식 : https://mathngju.tistory.com/35

 

ex) 행렬 $A~=~\begin{bmatrix}
3 & 2 & -1 \\
1 & 6 & 3 \\
2 & -4 & 0 \\
\end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오.

 

sol) 

여인수행렬 = $\begin{bmatrix}
12 & 6 & -16 \\
4 & 2 & 16 \\
12 & -10 & 16 \\
\end{bmatrix}$

 

수반행렬 = $\begin{bmatrix}
12 & 4 & 12 \\
6 & 2 & -10 \\
-16 & 16 & 16 \\
\end{bmatrix}$

 

det($A$) = 64

 

$\therefore A^{-1}~=~\frac{1}{det(A)} ~adj(A)~=~\frac{1}{64}~=~\frac{1}{64}\begin{bmatrix}
12 & 4 & 12 \\
6 & 2 & -10 \\
-16 & 16 & 16 \\
\end{bmatrix}$