수학생 Juicy

$\textbf{u}=\left ( u_{1},~\cdots ,~u_{n} \right ),~\textbf{v}=\left ( v_{1},~\cdots ,~v_{n} \right )$에 대하여 $$=u_{1}v_{1}+~\cdots ~+u_{n}v_{n}$$ 이라 정의하면, $$는 $\mathbb{R}^{n}$상의 내적이다. 이 내적을 유클리드 내적(Euclidean inner product) 또는 표준내적(standard inner product)이라 한다. $V$를 내적공간이라 할 때 $V$의 벡터 $\textbf{u}$의 노름(norm) 또는 길이(length)를 $\left\|u \right\|$로 표시하고 $$\left\|u \right\|=^{1/2}$$ 로 정의한다. 두 점(벡터) $\tex..

문제는 꾸준히 업데이트 중입니다. 해답이 올라와 있지 않은 것은 아직 업데이트 되지 않은 것이므로 곧 업데이트하여 올릴 예정입니다. 순서대로 꼭 알고가야 할 것들 위주로 정리한 것이고 지극히 주관적인 생각이므로 참고만 해주세요. Q1. 행렬 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오. A1. 더보기 Q2. 행렬 $A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 3 \\ 8 & 6 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오. A2. 더보기 **역행렬을 구하는 문제는 뒤에서 많이 응용되어 나오기 때문에 완벽하게 ..

영이 아닌 벡터공간 $V$가 기저를 구성하는 유한집합 벡터 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2}\,~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$을 포함할 때 $V$는 유한차원(finite-dimensional)이라 하고 이와 같은 집합이 존재하지 않을 때 $V$는 무한차원(infinite-dimensional)이라 한다. 더보기 기저(basis) : https://mathngju.tistory.com/44 유한차원 벡터공간 $V$의 차원(dimension)은 dim($V$)로 표기되고, $V$의 기저를 구성하는 벡터의 개수로 정의한다. ex) $\mathbb{R}^{4}$의 부분공간 $W=\left\{ \left ( a,~b,~c,~d \right )~|~..

$A$가 $m\times n$ 행렬일 때 $A$의 행공간(row space) : $A$의 행벡터가 생성하는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분공간 $A$의 열공간(column space) : $A$의 열벡터가 생성하는 \mathbb{R}^{m}$의 부분공간 $A$의 영공간(null space) : $\left\{ \textbf{x}\in \mathbb{R}^{n}|A\textbf{x}=0\right\}$ 각각을 row($A$), col($A$), null($A$)로 표기한다. ex) $$A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\ 3 & -2 & 1 & 4 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 & 7 & 8 \\ \end{bmatrix}$..

$B=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$가 벡터공간 $V$의 기저이고 $$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$ 이 기저 $B$에 의한 벡터 $\textbf{v}$의 표현일 때 스칼라 $c_{1}$, $c_{2}$, $\cdots $, $c_{n}$을 기저 $B$에 관한 $v$의 좌표벡터(coordinate vector of $\textbf{v}$ relative to $B$)라 하고 다음과 같이 표기한다. $$\left [ \textbf{v} \right ]_{B}=\left [ c_{1},~c_{2}..

$V$가 임의의 벡터공간이고 $B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 $V$의 벡터집합일 때 $B$가 다음 두 조건을 만족하면 $B$를 $V$의 기저(basis)라 한다. (1) $B$는 일차독립이다. (2) $B$는 $V$를 생성한다. $B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 벡터공간 $V$의 기저이면 $V$에 속하는 모든 벡터는 $$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$ 인 형식으로 유일하게 표현될 수 ..

$S=~\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{r}\right\}$을 공집합이 아닌 벡터집합이라 하면 이 경우 벡터방정식 $$k_{1}\textbf{v}_{1}+k_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+k_{r}\textbf{v}_{r}=0$$ 은 적어도 하나의 해, 즉 $$k_{1}=0,~k_{2}=0, ~\cdots ,~k_{r}=0$$ 을 갖는다. 만일 이것이 유일한 해라면 $S$를 일차독립(linearly independent)집합이라 하고 다른 해도 가질 때 $S$는 일차종속(linearly dependent)집합이라 한다. Thm. (1) 영켁터를 포함하는 벡터의 유한집합은 일차종속이다. (2) 두 벡터만을 갖는..

벡터 $\textbf{v}_{1}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$과 스칼라 $k_{1}$, $\cdots $, $k_{r}$에 대하여 다음과 같은 형태 $$\textbf{}k_{1}\textbf{v}_{1}+k_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+k_{r}\textbf{v}_{r}$$ 을 $\textbf{v}_{1}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$의 일차결합(linear combination)이라 한다. 벡터공간 $V$의 부분집합 $S=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots, \textbf{v}_{r} \right\}$에 대하여 $V$의 부분공간 $$W=\left\{ c_{1}\textbf{v}_{1}+..

벡터공간 $V$의 부분공간 $W_{1}$, $W_{2}$에 대하여 (1) $W_{1}\cap W_{2}=\left\{ 0\right\}$ (2) $V=W_{1}+W_{2}$ 를 만족할 때, $V$는 $W_{1}$, $W_{2}$의 직합(direct sum)이라 하고 $V=W_{1}\oplus W_{2}$으로 표현한다.

벡터공간 $V$의 부분집합 $W(\neq \o )$$가 $V$상에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 관하여 그 자체로 벡터공간을 이룰 때 $W$를 $V$의 부분공간이라 한다. 기호로는 $W\leq V$와 같이 표현한다. ** 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음 (1), (2)를 만족하는 것 (1) $\textbf{u}$, $\textbf{v}$가 $W$의 벡터이면, $\textbf{u}+\textbf{v}$도 $W$의 벡터이다. (2) $k$가 임의의 스칼라이고 $\textbf{u}$가 $W$의 벡터이면, $k\textbf{u}$도 $W$의 벡터이다.