수학생 Juicy

양의 정수 $n$에 대해 $n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$이 $n$의 소인수분해이면 다음이 성립한다. (1) 약수의 개수 $=(k_{1}+1)(k_{2}+1)\cdots (k_{r}+1)$ (2) 약수들의 합 $=\frac{p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1}\frac{p_{2}^{k_{2}+1}-1}{p_{2}-1}\cdots \frac{p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}$

큰 숫자를 소수인지 아닌지 판단해보고 싶은적이 한번씩은 있을 것이다. 처음부터 일일히 세어 나갈 수도 없는 노릇이고 일일히 하나씩 나누어 보기에도 너무 힘들다. 그렇다면 큰 숫자가 소수인지 아닌지 어떻게 판단할 수 있을까? Thm. 정수 $a>1$가 합성수이면 $p\leq \sqrt{a}$인 소인수 $p$가 존재한다. 즉, 정수 $a>1$가 $p\leq \sqrt{a}$인 모든 소수로 나누어지지 않으면 $a$는 소수이다. 2022를 소인수 분해 해보자. 1. 2022는 2로 나누어진다. => $2022=2\times 1011$ 2. 1011의 각자리 숫자를 더하면 3이 되므로 1011은 3으로 나누어진다. => $2022=2\times 1011=2\times 3\times 337$ 3. 337은 2로도 ..

Def. (나눗셈 알고리즘) 주어진 정수 $a,~b(b>0)$에 대하여 다음을 만족하는 유일한 정수 $q,~r$이 존재한다. $$a=bq+r,~0\leq r

Def. $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여 $$A\textbf{x}=\lambda \textbf{x}$$ 를 만족하는 $\textbf{x}(\neq \textbf{0})\in \mathbb{R}^{n}$와 스칼라 $\lambda $가 존재하면, $\lambda $를 $A$의 고윳값(eigenvalue)이라 하고 $\textbf{x}$를 $\lambda $에 대응하는 $A$의 고유벡터(eigenvector)라 한다. ** $p(\lambda )=det(\lambda I-A)$를 $A$의 특성 다항식(고유 다항식, characteristic polynomial)이라 한다. ex1. 행렬 $A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end..

두 벡터공간 $V$와 $W$에 대하여 함수 $T~:~V\to W$가 다음 두 조건을 만족할 때 $T$는 동형사상(isomorphism)이라 한다. (1) $T$는 전단사이다. (2) $T$는 선형변환이다. $V$에서 $W$로의 동형사상이 존재할 때, $V$와 $W$는 동형(isomorphic)이라 한다.

$A$가 $n\times n$ 행렬이고 $T_{A}~:~\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n},~T_{A}(\textbf{x})=A\textbf{x}$ 이면 다음은 동치이다. (1) $A$는 가역이다. (2) $A\textbf{x}=0$은 오직 자명해만을 갖는다. (3) $A$의 기약행 사다리꼴(기약 가우스 행렬)은 $I_{n}$이다. (4) $A$는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다. (5) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 해를 갖는다. (6) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 오직 하나의 해를 갖는다. (7) $det(A)\neq 0$ (8) $A$의 열벡..

Def. 선형변환 $T~:~V\to W$에 대하여 $T$의 핵(kernel)과 $T$의 치역(range)을 각각 다음과 같이 정의한다. $$ker(T)=\left\{ \textbf{v}\in V~|~T(\textbf{v})=\textbf{0}_{W}\right\},~R(T)[or~Im(T)]=\left\{ T(\textbf{v})~|~\textbf{v}\in V\right\}$$ ex1. $\left\{ \textbf{e}_{1},~\textbf{e}_{2},~\textbf{e}_{3},~\textbf{e}_{4}\right\}$를 $\mathbb{R}^{4}$의 표준기저라 하고 $T~:~\mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3}$은 $$T(\textbf{e}_{1})=\left ( 1,..

$T~:~V\to W$가 벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로의 함수일 때, $T$가 $V$의 모든 벡터 $\textbf{u},~\textbf{v}$와 모든 스칼라 $c$에 대해서 다음을 만족하면 $T$를 $V$에서 $W$로의 선형변환(선형사상, linear transformation)이라 한다. (1) $T(\textbf{u}+\textbf{v})=T(\textbf{u})+T(\textbf{v})$ (2) $T(c\textbf{u})=cT(\textbf{u})$ 특히 $V=W$일 때, 선형변환 $T~:~V\to V$를 $V$의 선형연산자(linear operator)라 한다. 선형변환 예) (1) $W$를 내적공간 $V$의 유한차원 부분공간이라 하자. $$T~:~V\to W,~T(\textbf{v})=..

$W$를 내적공간 $V$의 부분공간이라 하자. $V$의 벡터 $u$가 $W$의 모든 벡터와 수직일 때 벡터 $u$는 $W$와 직교한다(orthogonal to $W$)고 하고, $W$와 직교하는 $V$의 모든 벡터 집합을 $W$의 직교여공간(orthogonal complement of W)이라 하고 $W^{\perp }$라 표기한다. Thm1. $W$가 유한차원인 내적공간 $V$의 부분공간이면 다음이 성립한다. (1) $W^{\perp }$는 $V$의 부분공간이다. (2) $W\cap W^{\perp }=\left\{0 \right\}$ (3) $\left ( W^{\perp } \right )^{\perp }=W$ Thm2. $A$가 $m\times n$행렬이면 다음이 성립한다. (1) $A$의 영공간..