수학생 Juicy

두 함수 

$$\oplus:V\times V\to V,~\odot:\mathbb{R\times V\to V} $$

에 대하여 다음 모든 공리가 $V$의 모든 원소 $u$, $v$, $w$와 모든 스칼라 $k$, $l$에 대하여 만족될 때

$V$를 벡터공간(vector space)이라 하고 $V$의 원소를 벡터(vector)라 부른다.

1. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}\in V$

2. $\textbf{u}\oplus (\textbf{v}\oplus \textbf{w})=(\textbf{u}\oplus \textbf{v})\oplus \textbf{w}$

3. $\exists \textbf{0} \in V$ s.t. $\forall \textbf{u}$, $\textbf{0}\oplus \textbf{u}=\textbf{u}\oplus \textbf{0}=\textbf{u}$.

4. $\forall \textbf{u}$, $\exists \textbf{v} \in V$, s.t. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}=\textbf{v}\oplus \textbf{u}=\textbf{0}$. 이때, $\textbf{v}=-\textbf{u}$라 표기한다.

5. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}=\textbf{v}\oplus \textbf{u}$

6. $k\odot \textbf{u}\in V$

7. $k\odot (\textbf{u}\oplus \textbf{v})=(k\odot \textbf{u})\oplus (k\odot \textbf{v})$

8. $(k+l)\odot \textbf{u}=(k\odot \textbf{u})\oplus (l\odot \textbf{u})$

9. $k\odot (l\odot \textbf{u})=(kl)\odot \textbf{u}$

10. $\textbf{1}\odot \textbf{u}=\textbf{u}$

가나다라 - abcd - 기타 순으로 배열

ㄱ

가역행렬(정칙행렬, nonsingular matrix) : 역행렬을 가질 수 있는 행렬

가우스-조르단의 소거법(Gauss-Fordan elimination) : 기약행 사다리꼴을 구하기 위해 행렬을 변환하는 과정

가우스 소거(Gauss elimination) : 행 사다리꼴을 구하기 위해 행렬을 변환하는 과정

가우스 행렬(Gauss matrix) : https://mathngju.tistory.com/32

계수(rank) : https://mathngju.tistory.com/47

고유공간(eigenspace) : 

고유 다항식(characteristic polynomial) : 

고유벡터(eigenvector) : 

고윳값(eigenvalue) : 

기본행연산(elementary row operation) : https://mathngju.tistory.com/37

기본행렬(elementary matrix) : $n\times n$ 단위행렬 $I_{n}$에서 한 번의 기본행연산을 실시하여 얻어지는 $n\times n$ 행렬

기약 가우스 행렬(reduced Gauss matrix) : https://mathngju.tistory.com/32

기약행 사다리꼴(reduced row echelon form) : https://mathngju.tistory.com/32

기저(basis) : https://mathngju.tistory.com/44

ㄴ

내적(inner product) : https://mathngju.tistory.com/49

노름(norm) : https://mathngju.tistory.com/49

ㄷ

단위행렬(identity matrix) : 주대각선 위 성분은 모두 1이고 주대각선 이외의 성분은 모두 0인 정사각행렬 : $I_{n}$

대각합(trace) : $n\times n$행렬 $A$에 대하여 $A$의 대각합(trace)을 tr($A$)로 표시하고 다음과 같이 정의한다. $$tr(A)=\sum_{k=1}^{n}a_{kk}$$

대각행렬(diagonal matrix) : 주대각선 이외의 모든 성분이 0인 정사각행렬

대칭행렬(symmetric matrix) : $A=A^{T}$인 정사각행렬 $A$

동형사상(isomorphism) : https://mathngju.tistory.com/54

ㅁ

무한차원(infinite-dimensional) : https://mathngju.tistory.com/47

무효차수(nullity) : https://mathngju.tistory.com/47

ㅂ

반사 연산자 : https://mathngju.tistory.com/51

벡터공간(vector space) : https://mathngju.tistory.com/39

부분공간(subspace) : 벡터공간 $V$의 부분집합 $W(\neq \varnothing )$가 $V$상에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 관하여 그 자체로 벡터공간을 이룰 때 $W$를 $V$의 부분공간이라 한다. 기호로는 $W\leq V$와 같이 표현한다. : https://mathngju.tistory.com/40

ㅅ

삼각꼴 행렬(triangular matrix) : 상부3각행렬이거나 하부3각행렬인 행렬

상부3각행렬(upper triangular matrix) : 주대각선 아래쪽에 있는 모든 성분이 0인 정사각행렬

선형변환(linear transformation) : https://mathngju.tistory.com/51

선형사상(linear transformation) : https://mathngju.tistory.com/51

선형연산자(linear operator) : https://mathngju.tistory.com/51

생성(span) : https://mathngju.tistory.com/42

수반행렬(adjoint of A) : 여인수행렬의 전치행렬 : https://mathngju.tistory.com/36

ㅇ

여인수(cofactor of entry $a_{ij}$) : https://mathngju.tistory.com/35

여인수행렬(matrix of cofactors from A) : https://mathngju.tistory.com/36

역행렬(inverse matrix) : AB = BA = I 를 만족하는 정사각행렬 B가 존재할때, B를 A의 역행렬이라 한다. : https://mathngju.tistory.com/33

유클리드 내적(Euclidean inner product) : https://mathngju.tistory.com/49

유한차원(finite-dimensional) : https://mathngju.tistory.com/47

유효차수(rank) : https://mathngju.tistory.com/47

일차결합(linear combination) : https://mathngju.tistory.com/42

일차독립(linearly independent) : https://mathngju.tistory.com/43

일차종속(linearly dependent) : https://mathngju.tistory.com/43

ㅈ

전이행렬(transition matrix) : https://mathngju.tistory.com/45

전치행렬(transpose matrix) : $(A^{T})_{ij}~=~A_{ji}$ : https://mathngju.tistory.com/34

정사영 연산자 : https://mathngju.tistory.com/51

정칙행렬(가역행렬, nonsingular matrix) : 역행렬을 가질 수 있는 행렬

좌표벡터(coordinate vector) : https://mathngju.tistory.com/45

직교(orthogonal) : https://mathngju.tistory.com/49

직교행렬(orthogonal matrix) : 성질 $A^{-1}=A^{T}$를 만족하는 정사각행렬

직합(direct sum) : https://mathngju.tistory.com/41

ㅊ

차원(dimension) : https://mathngju.tistory.com/47

첨가행렬(augmented matrix) : https://mathngju.tistory.com/31

추이행렬(transition matrix) : https://mathngju.tistory.com/45

치역(range) : https://mathngju.tistory.com/52

ㅌ

퇴화차수(nullity) : https://mathngju.tistory.com/47

특성 다항식(characteristic polynomial) : 

특이행렬(singular matrix) : 역행렬이 존재하지 않는 행렬

ㅍ

표준기저(standard basis) : https://mathngju.tistory.com/44

표준내적(standard inner product) : https://mathngju.tistory.com/49

ㅎ

하부3각행렬(lower triangular matrix) : 주대각선 위쪽에 있는 모든 성분이 0인 정사각행렬

핵(kernel) : https://mathngju.tistory.com/52

행렬식 : https://mathngju.tistory.com/35

행 사다리꼴(row echelon form) : https://mathngju.tistory.com/32

회전 연산자 : https://mathngju.tistory.com/51

A~Z

Cauchy-Schwarz 부등식 : https://mathngju.tistory.com/49

Gram-Cshmidt 방법 : https://mathngju.tistory.com/49

다음 세 가지 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라 한다.

1. 한 행에 영이 아닌 상수를 모두 곱한다.

2. 두 행을 교환한다.

3. 한 행의 배수를 다른 행에 더한다.

ex)

$A~=~\begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 \\
0 & 4 & 3 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}~\sim ~\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}$

$A$를 $n\times n$행렬, $C_{ij}$를 $A$의 $a_{ij}$의 성분의 여인수라 할 때, 

행렬 $\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & \cdots  & C_{1n} \\
C_{21} & C_{22} & \cdots  & C_{2n} \\
\vdots  & \vdots  &  & \vdots  \\
C_{n1} & C_{n2} & \cdots  & C_{nn} \\
\end{bmatrix}$을 $A$의 여인수행렬(matrix of cofactors from $A$)라고 한다. 

또, 이 행렬의 전치행렬을 $A$의 수반행렬(adjoint of $A$)이라 하고 adj($A$)로 나타낸다.

**  $1\times 1$의 경우

$A~=~\begin{bmatrix}
a_{11}\end{bmatrix}$ 에 대하여 $det(A)=a_{11}$ 으로 정의한다.

** $n\times n ~ (n\geq 2)$의 경우

$$det(A)~=~a_{11}\left ( -1 \right )^{1+1}M_{11}~+~a_{12}\left ( -1 \right )^{1+2}M_{12}~+~\cdots ~+~a_{1n}\left ( -1 \right )^{1+n}M_{1n}$$

여기서 $M_{1k}$는 $A$의 1행과 k열을 제외하고서 이루어진 부분행렬의 행렬식이다.

$A$의 $i$행과 $j$열을 제외하고서 이루어진 부분행렬의 행렬식을 $M_{ij}$라 쓰고, $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$를 성분 $a_{ij}$의 여인수(cofactor of entry $a_{ij}$)라고 한다.

$A$를 $n\times n$ 행렬이라 하면 다음이 성립한다.

(1) $B$를 $A$의 어떤 한 행 또는 한 열에 스칼라 $k$배 해서 만들어진 행렬이라 하면 $det(B)=kdet(A)$ 이다.

(2) $B$를 $A$의 두 행 또는 두 열을 교환해서 만들어진 행렬이라 하자. 그러면 $det(B)=-det(A)$ 이다.

(3) $B$를 $A$의 한 행에 몇 배 해서 다른 행에 더하든지 또는 한 열에 몇 배 해서 다른 열에 더하여 만들어진 행렬이라 하면 $det(B)=det(A)$ 이다.

ex)

$$\begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 4 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}~=~2\begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}~=~2\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\0
 &2  &1  &0  \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}~=~2(-1)\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}~=~2(-1)\left\{ (-1)\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1 \\
\end{vmatrix}\right\}~=~12$$

**  행렬식의 기본 성질

Thm1.

$det(A)=det(A^{T})$

($A^{T}$는 $A$의 전치행렬)

Thm2.

$\forall k\in \mathbb{R}$, $det(kA)=k^{n}A$

Thm3.

$A$와 $B$가 같은 크기의 정사각행렬이면

$det(AB)=det(A)det(B)$가 성립한다.

**  $ 2\times 2 $ 행렬의 경우

$ A~=~\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix} $ 이고  $ ad-bc\neq 0 $ 일 때 A의 역행렬은 다음 공식에 의하여 주어진다.

$$ A^{-1}~=~\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{bmatrix}~=~\begin{bmatrix}
\frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc} \\
-\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \\
\end{bmatrix} $$

**  $ 3\times 3 $ 이상의 행렬의 경우

$$A^{-1}~=~\frac{1}{det(A)}~adj(A)$$

$adj(A)$는 A의 수반행렬(adjoint of A)이고 $det(A)$는 A의 행렬식이다.

ex) 행렬 $A~=~\begin{bmatrix}
3 & 2 & -1 \\
1 & 6 & 3 \\
2 & -4 & 0 \\
\end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오.

sol) 

여인수행렬 = $\begin{bmatrix}
12 & 6 & -16 \\
4 & 2 & 16 \\
12 & -10 & 16 \\
\end{bmatrix}$

수반행렬 = $\begin{bmatrix}
12 & 4 & 12 \\
6 & 2 & -10 \\
-16 & 16 & 16 \\
\end{bmatrix}$

det($A$) = 64

$\therefore A^{-1}~=~\frac{1}{det(A)} ~adj(A)~=~\frac{1}{64}~=~\frac{1}{64}\begin{bmatrix}
12 & 4 & 12 \\
6 & 2 & -10 \\
-16 & 16 & 16 \\
\end{bmatrix}$

다음의 조건을 만족하는 행렬을 기약행 사다리꼴(reduced row echelon form) 또는 기약 가우스 행렬(reduced Gauss matrix)라고 한다.

1. 한 행이 모두 영으로 되어 있지 않으면 그 행에서 첫째로 0이 아닌 수는 1이다.

2. 모두가 영으로 된 행이 존재하면 이들은 행렬의 가장 아래쪽에 있다.

3. 모두가 영이 아닌 두 연속행에 있어서 아래 행의 선행 1은 위 행의 선행 1보다 오른쪽에 위치한다.

4. 위의 1을 포함한 각 열의 다른 모든 수는 영이다.

또한 1~3을 만족하는 행렬을 행 사다리꼴(row echelon form) 또는 가우스 행렬(Gauss matrix)이라 한다.

ex)

$$\begin{bmatrix}
2 & 2 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 2 & -3 & 1 \\
1 & 1 & -2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}

~\sim ~

\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix} $$

동차연립1차방정식             ~            기약행 사다리꼴

연립1차방정식을 계수들을 배열로 간단히 표시한 것

\begin{matrix}
a_{11}x_{1}~ + ~a_{12}x_{2} ~+~ \cdots ~+~ a_{1n}x_{n} ~=~ b_{1} \\
a_{21}x_{1}~ + ~a_{22}x_{2} ~+~ \cdots ~+~ a_{2n}x_{n} ~=~ b_{2} \\
~~\vdots ~~~~~~~~~~~\vdots ~~~~~~~~~~~\vdots ~~~~~~~~~~\vdots ~~~~~~~~~~~\vdots  \\
a_{m1}x_{1}~ + ~a_{m2}x_{2} ~+~ \cdots ~+~ a_{mn}x_{n} ~=~ b_{m}
\end{matrix}

=>

\begin{bmatrix}
a_{11}~a_{12}~\cdots ~a_{1n}~b_{1} \\
a_{21}~a_{22}~\cdots ~a_{2n}~b_{2} \\
~\vdots ~~~~\vdots ~~~~~~~~~\vdots ~~~~\vdots  \\
a_{m1}~a_{m2}~\cdots ~a_{mn}~b_{m}
\end{bmatrix}