대각화(diagonalize)

Def.

$n\times n$ 행렬 $A$에 대하여

$$A\textbf{x}=\lambda \textbf{x}$$

를 만족하는 $\textbf{x}(\neq \textbf{0})\in \mathbb{R}^{n}$와 스칼라 $\lambda $가 존재하면, $\lambda $를 $A$의 고윳값(eigenvalue)이라 하고 $\textbf{x}$를 $\lambda $에 대응하는 $A$의 고유벡터(eigenvector)라 한다.

** $p(\lambda )=det(\lambda I-A)$를 $A$의 특성 다항식(고유 다항식, characteristic polynomial)이라 한다.

 

ex1.

행렬 $A=\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
7 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}$에 대한 보기의 진위를 판정하고 이유를 설명하시오. [2010학년도 기출]

<보기> (1) $A$의 고유다항식(characteristic polynomial)은 $x^{3}-6x^{2}-9x+54$이다. (2) $A^{2}$의 모든 고윳값(eigenvalue, characteristic value)들의 합은 $36$이다.

 

sol1.

 

 

 

Def.

$\lambda $가 $A$의 고윳값일 때, $\lambda I-A$의 해공간을 $\lambda $에 대응하는 $A$의 고유공간(eigenspace)이라 한다.

** $k$가 양의 정수이고 $\lambda $가 행렬 $A$의 고윳값이며 $\textbf{x}$가 대응고유벡터이면, $\lambda^{k} $는 $A^{k}$의 고윳값이고 $\textbf{x}$는 \lambda ^{k}에 대응하는 $A^{k}$의 고유벡터이다.

 

ex2.

다음 행렬의 고유치(eigen value)와 고유공간(eigen space)을 구하시오. [2004학년도 기출]

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}$$

 

sol2.

 

 

 

ex3.

$3\times 3$행렬 $A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{bmatrix}$에 대하여, $A^{10}$의 고윳값(eigen values)과 고유벡터(eigenvector)를 모두 구하시오. [2000학년도 기출]

 

sol3.

 

 

 

Def.

정사각행렬 $A$에 대하여 $P^{-1}AP$가 대각행렬도 되는 가역행렬 $P$가 존재하면 $A$를 대각화 가능하다(diagonalizable)고 한다. 그리고 행렬 $P$는 $A$를 대각화한다(diagonalize)고 한다.

** $\lambda_{0} $를 $n\times n$ 행렬 $A$의 고윳값이라 하자.

(1) 기하학적 중복도(geometric multiplicity) : $\lambda_{0} $에 대응하는 고유공간의 차원

(2) 대수적 중복도(algebraic multiplicity) : $A$의 특성다항식에서 $\lambda-\lambda _{0}$의 차수

** $A$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 모든 고윳값에 대해서 기하학적 중복도가 대수적 중복도와 같은 것이다.

 

 

**$n$개의 일차독립인 고유벡터를 갖는 $n\times n$ 행렬 $A$를 대각화하는 방법

1. $A$의 고윳값 $\lambda_{1},~\lambda _{2},~\cdots ,~\lambda _{n} $과 $n$개의 일차독립인 고유벡터 $\textbf{x}_{1},~\textbf{x}_{2},~\cdots ,~\textbf{x}_{n}$을 구한다.

2. 행렬 $P=\left [ \textbf{x}_{1}~\textbf{x}_{2}~\cdots ~\textbf{x}_{n} \right ]$을 구성한다.

3. $P^{-1}AP$는 대각성분이 차례대로 $\lambda_{1},~\lambda _{2},~\cdots ,~\lambda _{n}$인 대각행렬이다.

 

ex4.

3차 정사각행렬 $A=\left ( a_{ij} \right )$가

$$A\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 \\
4 \\
8\end{bmatrix},~A\begin{bmatrix}
-1 \\
 0\\
1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 \\
0 \\
-2\end{bmatrix},~A\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 \\
-2 \\
0\end{bmatrix}$$

을 만족할 때, $A$의 고윳값(eigenvalue)을 모두 쓰시오. 또한, $a_{11}+a_{12}+a_{13}$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [2022학년도 기출]

 

sol4.

 

 

 

ex5.

행렬 $A=\begin{bmatrix}
3 & 2 & 2 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & -2 & 0 \\
\end{bmatrix}$에 대하여 $A=PDP^{-1}$을 만족하는 행렬 $D=\begin{bmatrix}
d_{1} & 0 & 0 \\
0 & d_{2} & 0 \\
0 & 0 & d_{3} \\
\end{bmatrix}$와 가역행렬 $P$를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 행렬 $A^{n}$의 2행 3열의 성분을 구하시오. (단, $d_{1}\leq d_{2}\leq d_{3}$이고 $n$은 자연수이다.) [2021학년도 기출]

 

sol.

 

 

 

Thm.

$n\times n$ 행렬 $A$의 고유 다항식에 대한 복소 해가 $\lambda _{1},~\lambda _{2},~\cdots ,~\lambda _{n}$라 하면 다음이 성립한다.

(1) $det(A)=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$

(2) $tr(A)=\lambda _{1}+\lambda _{2}+~\cdots ~+\lambda _{n}$