벡터공간(vector space)

두 함수 

$$\oplus:V\times V\to V,~\odot:\mathbb{R\times V\to V} $$

에 대하여 다음 모든 공리가 $V$의 모든 원소 $u$, $v$, $w$와 모든 스칼라 $k$, $l$에 대하여 만족될 때

$V$를 벡터공간(vector space)이라 하고 $V$의 원소를 벡터(vector)라 부른다.

 

1. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}\in V$

2. $\textbf{u}\oplus (\textbf{v}\oplus \textbf{w})=(\textbf{u}\oplus \textbf{v})\oplus \textbf{w}$

3. $\exists \textbf{0} \in V$ s.t. $\forall \textbf{u}$, $\textbf{0}\oplus \textbf{u}=\textbf{u}\oplus \textbf{0}=\textbf{u}$.

4. $\forall \textbf{u}$, $\exists \textbf{v} \in V$, s.t. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}=\textbf{v}\oplus \textbf{u}=\textbf{0}$. 이때, $\textbf{v}=-\textbf{u}$라 표기한다.

5. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}=\textbf{v}\oplus \textbf{u}$

6. $k\odot \textbf{u}\in V$

7. $k\odot (\textbf{u}\oplus \textbf{v})=(k\odot \textbf{u})\oplus (k\odot \textbf{v})$

8. $(k+l)\odot \textbf{u}=(k\odot \textbf{u})\oplus (l\odot \textbf{u})$

9. $k\odot (l\odot \textbf{u})=(kl)\odot \textbf{u}$

10. $\textbf{1}\odot \textbf{u}=\textbf{u}$