수학생 Juicy

Thm.

$n$은 양의 정수, $p$는 소수이면 $n!$을 나누는 가장 큰 $p$의 거듭제곱의 지수는 $\sum_{k=1 }^{\infty }\left [ \frac{n}{p^{k}} \right ]$이다.

여기서 $p^{k}>n$이면 $\left [ \frac{n}{p^{k}} \right ]=0$이므로 급수는 유한하다. 

따라서 $n!=\prod_{1\leq p\leq n}^{}p^{\sum_{k=1}^{\infty }\left [ \frac{n}{p^{k}} \right ]}$

Thm.

양의 정수 $n$과 소수 $p$에 대하여

$$\left [ \frac{n}{p^{k+1}} \right ]=\left [ \frac{\left [ \frac{n}{p^{k}} \right ]}{p} \right ]$$\

이 성립한다.

말은 어려워 보이지만 실제로 문제를 풀어보면 그렇게 어렵지 않다.

ex) $500!$을 나누는 $7$의 가장 큰 거듭제곱의 지수를 구하시오.

sol) $\left [ \frac{500}{7} \right ]+\left [ \frac{500}{7^{2}} \right ]+\left [ \frac{500}{7^{3}} \right ]+\left [ \frac{500}{7^{4}} \right ]+~\cdots ~=\left [ \frac{500}{7} \right ]+\left [ \frac{\left [ \frac{500}{7} \right ]}{7} \right ]+~\cdots ~=71+\left [ \frac{71}{7} \right ]+~\cdots ~=71+10+1+0+\cdots =82$