수학생 Juicy

*기저

 집합 $B$가 $ E^{3} $의 기저가 되려면

i) 집합 $B$의 모든 벡터는 일차독립

ii) $E^{3}$의 모든 벡터가 집합 $B$의 일차결합으로 표시가능

(note1) 집합 $B$의 원소갯수가 3개 일떄는 i 이 성립하면 ii 는 자명!

(note2) 집합 $B$의 원소갯수가 4개 이상 일때는 무조건 일차종속 (기저가 될 수 없다)

** 집합 $B$의 원소갯수가 3개일 경우, 3개의 벡터가 일차독립이면 집합 $B$는 유클리드 (삼차원)공간의 기저이다.

sol) 벡터 $ a, b, c $가 일차독립이면 $ xa+yb+zc=0 $ 을 만족하는 $ x, y, z $ 는  $ x=y=z=0 $ 이다.

 이때, $ a=(\: a_{1}, \: a_{2}, \: a_{3}\: ) $ ,$ b=(\: b_{1}, \: b_{2}, \: b_{3}\: ) $, $ c=(\: c_{1}, \: c_{2}, \: c_{3}\: ) $ 라고 하면

$$

\begin{matrix}
xa_{1}+yb_{1}+zc_{1}=0 \\ 
xa_{2}+yb_{2}+zc_{2}=0\\ 
xa_{3}+yb_{3}+zc_{3}=0
\end{matrix} 

$$

이 성립한다.

즉, 유일한 해 $x=y=z=0$ 이 존재하려면

$$

det\begin{vmatrix}
a_{1} & b_{1} & c_{1}\\ 
a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ 
a_{3} & b_{3} & c_{3}
\end{vmatrix}\neq 0

$$

$ \Rightarrow a,b,c $가 기저가 되기 위한 필요충분조건!!

이 말의 뜻을 해석해보면 $E^3$안의 임의의 벡터 $u= \begin{pmatrix}
u_{1} & u_{2} & u_{3}
\end{pmatrix} $ 에 대해서

$$

\left\{\begin{matrix}
u_{1}=xa_{1}+yb_{1}+zc_{1}\\ 
u_{2}=xa_{2}+yb_{2}+zc_{2}\\ 
u_{3}=xa_{3}+yb_{3}+zc_{3}
\end{matrix}\right.

$$

의 해가 존재한다고 생각할 수 있다. $\left ( x=k_{1},\: y=k_{2},\: z=k_{3} \right )$

즉, $E^3$안의 임의의 벡터 $u=k_{1}a+k_{2}b+k_{3}b$로 나타낼 수 있다.

$\therefore $일차결합으로 표시 가능하다.
 

**집합B의 원소갯수가 4개 이상일 경우에는 무조건 일차종속이다.(유클리드 (삼차원)공간의 기저가 될 수 없다)

sol) 집합 $B$의 원소 $u_{1},\: u_{2},\:  u_{3},\: u_{4},\: \cdots ,\: u_{n}$ 중 $u_{1},\: u_{2},\:  u_{3}$가 일차독립일 경우, $u_{1},\: u_{2},\:  u_{3}$는 $E^3$의 기저가 되므로

집합 $B$의 또다른 원소 $ u_{4},\: \cdots ,\: u_{n}$은 $u_{1},\: u_{2},\:  u_{3} $의 일차결합으로표현이가능하다.$ \left ( u_{4}=k_{1}u_{1}+k_{2}u_{2}+k_{3}u_{3} \right ) $

즉, $ k_{1}u_{1}+k_{2}u_{2}+k_{3}u_{3}+k_{4}u_{4}=0 $는 $0$이 아닌 해가 존재하므로 일차종속이다.

$\therefore $ 4개 이상의 원소를 가진 집합 $B$ 는 일차종속이므로 $E^3$의 기저가 될 수 없다.

(예제)