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1-1-02 최대공약수와 최소공배수 수업지도안 [서로소, 최대공약수, 최소공배수] 공부중입니다.보충해야할 내용이 있거나 수정해야 할 사항 등 의견있으시면 댓글로 부탁드려요~ 공감수 0 댓글수 0 2024. 12. 16.
1-1-01 소인수분해 수업지도안 2차시 [소인수, 소인수분해, 약수구하기] 공부중입니다. 보충해야할 내용이 있거나 수정해야 할 사항 등 의견있으시면 댓글로 부탁드려요~ 공감수 0 댓글수 0 2024. 12. 16.
1-1-01 소인수분해 수업지도안 1차시 [거듭제곱, 소수, 합성수] 공부중입니다. 보충해야할 내용이 있거나 수정해야 할 사항 등 의견있으시면 댓글로 부탁드려요~ 공감수 0 댓글수 0 2024. 12. 16.
교육방법 및 교육공학 **교수설계 *목표 -블룸의 인지적 영역 목표 더보기 (지이적분종평) 지식, 이해, 적용, 분석, 종합, 평가 -타일러의 행동목표 더보기 내용 + 행동 -메이거식 목표 더보기 조건 + 준거 + 도착점 행동 *교수설계 -롸이겔루스 교수설계이론 더보기 (교수조방결, 학제교, 관전조, 효효매) 교수조건 학습자 특성 제약점 교과내용 특성 교수목적 교수방법 관리전략 전달전략 조직전략 교수결과 효과성, 효율성, 매력성 -ADDIE 모형 더보기 (분설개실평) 분석 : 요구분석, 학습자 분석, 환경 분석, 과제 분석 설계 : 목표 진술(메이거식), 평가도구 개발, 매체 선정 개발 : 매체 개발 실행 평가 -딕앤캐리의 체제적 교수설계 모형 더보기 (요수학목평전자형총) 요구분석 : 요구; 학습자의 현재 수준과 이상적인 수.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 10. 25.
중국인의 나머지 정리 (중국인의 나머지 정리) $n_{1},~n_{2},~\cdots ,~n_{r}$을 $i\neq j$에 대해 $gcd(n_{i},~n_{j})=1$인 양의 정수라 하자. 그러면 연립 선형 합동식 $$\left\{\begin{matrix} x\equiv a_{1} & (mod~n_{1}) \\ x\equiv a_{2} & (mod~n_{2}) \\ & \vdots \\ x\equiv a_{r} & (mod~n_{r}) \\ \end{matrix}\right.$$ 은 법 $n_{1}n_{2}\cdots n_{r}$에 대해 유일한 공통 해를 가진다. 1. $N=\prod_{i=1}^{r}n_{i}$에 대하여 $N_{i}=\frac{N}{n_{i}}$라 한다. 2. $N_{i}x_{i}\equiv 1~(mod~n.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 31.
합동식 $6x\equiv 22~(mod~32)$의 정수해는 법 32에 대하여 1개 뿐이다. [2010 기출] 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 31.
정수 $x,~y,~z$에 관한 합동식 $x^{2}+y^{2}\equiv 3x^{2}~(mod~4)$의 해집합은 $$\left\{ \left ( x,~y,~z \right )~|~x\equiv y\equiv z\equiv 0~(mod~2)\right\}$$ 임을 보이시오. [2007 기출] 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 31.
최대 정수 함수 Thm. $n$은 양의 정수, $p$는 소수이면 $n!$을 나누는 가장 큰 $p$의 거듭제곱의 지수는 $\sum_{k=1 }^{\infty }\left [ \frac{n}{p^{k}} \right ]$이다. 여기서 $p^{k}>n$이면 $\left [ \frac{n}{p^{k}} \right ]=0$이므로 급수는 유한하다. 따라서 $n!=\prod_{1\leq p\leq n}^{}p^{\sum_{k=1}^{\infty }\left [ \frac{n}{p^{k}} \right ]}$ Thm. 양의 정수 $n$과 소수 $p$에 대하여 $$\left [ \frac{n}{p^{k+1}} \right ]=\left [ \frac{\left [ \frac{n}{p^{k}} \right ]}{p} \right ]$$.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 27.
약수의 개수, 약수들의 합 양의 정수 $n$에 대해 $n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$이 $n$의 소인수분해이면 다음이 성립한다. (1) 약수의 개수 $=(k_{1}+1)(k_{2}+1)\cdots (k_{r}+1)$ (2) 약수들의 합 $=\frac{p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1}\frac{p_{2}^{k_{2}+1}-1}{p_{2}-1}\cdots \frac{p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}$ 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 27.
소수 판단하기 큰 숫자를 소수인지 아닌지 판단해보고 싶은적이 한번씩은 있을 것이다. 처음부터 일일히 세어 나갈 수도 없는 노릇이고 일일히 하나씩 나누어 보기에도 너무 힘들다. 그렇다면 큰 숫자가 소수인지 아닌지 어떻게 판단할 수 있을까? Thm. 정수 $a>1$가 합성수이면 $p\leq \sqrt{a}$인 소인수 $p$가 존재한다. 즉, 정수 $a>1$가 $p\leq \sqrt{a}$인 모든 소수로 나누어지지 않으면 $a$는 소수이다. 2022를 소인수 분해 해보자. 1. 2022는 2로 나누어진다. => $2022=2\times 1011$ 2. 1011의 각자리 숫자를 더하면 3이 되므로 1011은 3으로 나누어진다. => $2022=2\times 1011=2\times 3\times 337$ 3. 337은 2로도 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 27.
약수와 배수 Def. (나눗셈 알고리즘) 주어진 정수 $a,~b(b>0)$에 대하여 다음을 만족하는 유일한 정수 $q,~r$이 존재한다. $$a=bq+r,~0\leq r 공감수 0 댓글수 1 2022. 12. 23.
선형대수학 임용 기출문제[2014-2022] 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 23.
대각화(diagonalize) Def. $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여 $$A\textbf{x}=\lambda \textbf{x}$$ 를 만족하는 $\textbf{x}(\neq \textbf{0})\in \mathbb{R}^{n}$와 스칼라 $\lambda $가 존재하면, $\lambda $를 $A$의 고윳값(eigenvalue)이라 하고 $\textbf{x}$를 $\lambda $에 대응하는 $A$의 고유벡터(eigenvector)라 한다. ** $p(\lambda )=det(\lambda I-A)$를 $A$의 특성 다항식(고유 다항식, characteristic polynomial)이라 한다. ex1. 행렬 $A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 23.
동형사상(isomorphism) 두 벡터공간 $V$와 $W$에 대하여 함수 $T~:~V\to W$가 다음 두 조건을 만족할 때 $T$는 동형사상(isomorphism)이라 한다. (1) $T$는 전단사이다. (2) $T$는 선형변환이다. $V$에서 $W$로의 동형사상이 존재할 때, $V$와 $W$는 동형(isomorphic)이라 한다. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 23.
동치명제 $A$가 $n\times n$ 행렬이고 $T_{A}~:~\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n},~T_{A}(\textbf{x})=A\textbf{x}$ 이면 다음은 동치이다. (1) $A$는 가역이다. (2) $A\textbf{x}=0$은 오직 자명해만을 갖는다. (3) $A$의 기약행 사다리꼴(기약 가우스 행렬)은 $I_{n}$이다. (4) $A$는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다. (5) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 해를 갖는다. (6) $A\textbf{x}=b$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\textbf{b}$ 에 대해서 오직 하나의 해를 갖는다. (7) $det(A)\neq 0$ (8) $A$의 열벡.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 23.
선형변환의 행렬 표현 Def. 선형변환 $T~:~V\to W$에 대하여 $T$의 핵(kernel)과 $T$의 치역(range)을 각각 다음과 같이 정의한다. $$ker(T)=\left\{ \textbf{v}\in V~|~T(\textbf{v})=\textbf{0}_{W}\right\},~R(T)[or~Im(T)]=\left\{ T(\textbf{v})~|~\textbf{v}\in V\right\}$$ ex1. $\left\{ \textbf{e}_{1},~\textbf{e}_{2},~\textbf{e}_{3},~\textbf{e}_{4}\right\}$를 $\mathbb{R}^{4}$의 표준기저라 하고 $T~:~\mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3}$은 $$T(\textbf{e}_{1})=\left ( 1,.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 23.
선형변환(선형사상, linear transformation) $T~:~V\to W$가 벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로의 함수일 때, $T$가 $V$의 모든 벡터 $\textbf{u},~\textbf{v}$와 모든 스칼라 $c$에 대해서 다음을 만족하면 $T$를 $V$에서 $W$로의 선형변환(선형사상, linear transformation)이라 한다. (1) $T(\textbf{u}+\textbf{v})=T(\textbf{u})+T(\textbf{v})$ (2) $T(c\textbf{u})=cT(\textbf{u})$ 특히 $V=W$일 때, 선형변환 $T~:~V\to V$를 $V$의 선형연산자(linear operator)라 한다. 선형변환 예) (1) $W$를 내적공간 $V$의 유한차원 부분공간이라 하자. $$T~:~V\to W,~T(\textbf{v})=.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 22.
정사영(orthogonal projection) $W$를 내적공간 $V$의 부분공간이라 하자. $V$의 벡터 $u$가 $W$의 모든 벡터와 수직일 때 벡터 $u$는 $W$와 직교한다(orthogonal to $W$)고 하고, $W$와 직교하는 $V$의 모든 벡터 집합을 $W$의 직교여공간(orthogonal complement of W)이라 하고 $W^{\perp }$라 표기한다. Thm1. $W$가 유한차원인 내적공간 $V$의 부분공간이면 다음이 성립한다. (1) $W^{\perp }$는 $V$의 부분공간이다. (2) $W\cap W^{\perp }=\left\{0 \right\}$ (3) $\left ( W^{\perp } \right )^{\perp }=W$ Thm2. $A$가 $m\times n$행렬이면 다음이 성립한다. (1) $A$의 영공간.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 22.
내적(inner product) $\textbf{u}=\left ( u_{1},~\cdots ,~u_{n} \right ),~\textbf{v}=\left ( v_{1},~\cdots ,~v_{n} \right )$에 대하여 $$=u_{1}v_{1}+~\cdots ~+u_{n}v_{n}$$ 이라 정의하면, $$는 $\mathbb{R}^{n}$상의 내적이다. 이 내적을 유클리드 내적(Euclidean inner product) 또는 표준내적(standard inner product)이라 한다. $V$를 내적공간이라 할 때 $V$의 벡터 $\textbf{u}$의 노름(norm) 또는 길이(length)를 $\left\|u \right\|$로 표시하고 $$\left\|u \right\|=^{1/2}$$ 로 정의한다. 두 점(벡터) $\tex.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 22.
임용준비 문제풀이(선형대수학) 문제는 꾸준히 업데이트 중입니다. 해답이 올라와 있지 않은 것은 아직 업데이트 되지 않은 것이므로 곧 업데이트하여 올릴 예정입니다. 순서대로 꼭 알고가야 할 것들 위주로 정리한 것이고 지극히 주관적인 생각이므로 참고만 해주세요. Q1. 행렬 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오. A1. 더보기 Q2. 행렬 $A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 5 \\ -1 & 2 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 3 \\ 8 & 6 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$의 역행렬을 구하시오. A2. 더보기 **역행렬을 구하는 문제는 뒤에서 많이 응용되어 나오기 때문에 완벽하게 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 22.
차원(dimension)/계수(rank), 퇴화차수(nullity) 영이 아닌 벡터공간 $V$가 기저를 구성하는 유한집합 벡터 $\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2}\,~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$을 포함할 때 $V$는 유한차원(finite-dimensional)이라 하고 이와 같은 집합이 존재하지 않을 때 $V$는 무한차원(infinite-dimensional)이라 한다. 더보기 기저(basis) : https://mathngju.tistory.com/44 유한차원 벡터공간 $V$의 차원(dimension)은 dim($V$)로 표기되고, $V$의 기저를 구성하는 벡터의 개수로 정의한다. ex) $\mathbb{R}^{4}$의 부분공간 $W=\left\{ \left ( a,~b,~c,~d \right )~|~.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 22.
행공간(row space), 열공간(column space), 영공간(null space) $A$가 $m\times n$ 행렬일 때 $A$의 행공간(row space) : $A$의 행벡터가 생성하는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분공간 $A$의 열공간(column space) : $A$의 열벡터가 생성하는 \mathbb{R}^{m}$의 부분공간 $A$의 영공간(null space) : $\left\{ \textbf{x}\in \mathbb{R}^{n}|A\textbf{x}=0\right\}$ 각각을 row($A$), col($A$), null($A$)로 표기한다. ex) $$A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & 6 & 9 \\ 3 & -2 & 1 & 4 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 & 7 & 8 \\ \end{bmatrix}$.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 21.
추이행렬(전이행렬, transition matrix) $B=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n}\right\}$가 벡터공간 $V$의 기저이고 $$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$ 이 기저 $B$에 의한 벡터 $\textbf{v}$의 표현일 때 스칼라 $c_{1}$, $c_{2}$, $\cdots $, $c_{n}$을 기저 $B$에 관한 $v$의 좌표벡터(coordinate vector of $\textbf{v}$ relative to $B$)라 하고 다음과 같이 표기한다. $$\left [ \textbf{v} \right ]_{B}=\left [ c_{1},~c_{2}.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 20.
기저(basis) $V$가 임의의 벡터공간이고 $B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 $V$의 벡터집합일 때 $B$가 다음 두 조건을 만족하면 $B$를 $V$의 기저(basis)라 한다. (1) $B$는 일차독립이다. (2) $B$는 $V$를 생성한다. $B=\left\{\textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{n} \right\}$이 벡터공간 $V$의 기저이면 $V$에 속하는 모든 벡터는 $$\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+c_{n}\textbf{v}_{n}$$ 인 형식으로 유일하게 표현될 수 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 20.
일차독립(linearly independent), 일차종속(linearly dependent) $S=~\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots ,~\textbf{v}_{r}\right\}$을 공집합이 아닌 벡터집합이라 하면 이 경우 벡터방정식 $$k_{1}\textbf{v}_{1}+k_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+k_{r}\textbf{v}_{r}=0$$ 은 적어도 하나의 해, 즉 $$k_{1}=0,~k_{2}=0, ~\cdots ,~k_{r}=0$$ 을 갖는다. 만일 이것이 유일한 해라면 $S$를 일차독립(linearly independent)집합이라 하고 다른 해도 가질 때 $S$는 일차종속(linearly dependent)집합이라 한다. Thm. (1) 영켁터를 포함하는 벡터의 유한집합은 일차종속이다. (2) 두 벡터만을 갖는.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 20.
생성한다 벡터 $\textbf{v}_{1}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$과 스칼라 $k_{1}$, $\cdots $, $k_{r}$에 대하여 다음과 같은 형태 $$\textbf{}k_{1}\textbf{v}_{1}+k_{2}\textbf{v}_{2}+~\cdots ~+k_{r}\textbf{v}_{r}$$ 을 $\textbf{v}_{1}$, $\cdots $, $\textbf{v}_{r}$의 일차결합(linear combination)이라 한다. 벡터공간 $V$의 부분집합 $S=\left\{ \textbf{v}_{1},~\textbf{v}_{2},~\cdots, \textbf{v}_{r} \right\}$에 대하여 $V$의 부분공간 $$W=\left\{ c_{1}\textbf{v}_{1}+.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 20.
직합(direct sum) 벡터공간 $V$의 부분공간 $W_{1}$, $W_{2}$에 대하여 (1) $W_{1}\cap W_{2}=\left\{ 0\right\}$ (2) $V=W_{1}+W_{2}$ 를 만족할 때, $V$는 $W_{1}$, $W_{2}$의 직합(direct sum)이라 하고 $V=W_{1}\oplus W_{2}$으로 표현한다. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 20.
부분공간(subspace) 벡터공간 $V$의 부분집합 $W(\neq \o )$$가 $V$상에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 관하여 그 자체로 벡터공간을 이룰 때 $W$를 $V$의 부분공간이라 한다. 기호로는 $W\leq V$와 같이 표현한다. ** 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음 (1), (2)를 만족하는 것 (1) $\textbf{u}$, $\textbf{v}$가 $W$의 벡터이면, $\textbf{u}+\textbf{v}$도 $W$의 벡터이다. (2) $k$가 임의의 스칼라이고 $\textbf{u}$가 $W$의 벡터이면, $k\textbf{u}$도 $W$의 벡터이다. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 20.
벡터공간(vector space) 두 함수 $$\oplus:V\times V\to V,~\odot:\mathbb{R\times V\to V} $$ 에 대하여 다음 모든 공리가 $V$의 모든 원소 $u$, $v$, $w$와 모든 스칼라 $k$, $l$에 대하여 만족될 때 $V$를 벡터공간(vector space)이라 하고 $V$의 원소를 벡터(vector)라 부른다. 1. $\textbf{u}\oplus \textbf{v}\in V$ 2. $\textbf{u}\oplus (\textbf{v}\oplus \textbf{w})=(\textbf{u}\oplus \textbf{v})\oplus \textbf{w}$ 3. $\exists \textbf{0} \in V$ s.t. $\forall \textbf{u}$, $\textbf{0}\oplus.. 공감수 0 댓글수 1 2022. 12. 20.
용어 정리(선형대수학) 가나다라 - abcd - 기타 순으로 배열 ㄱ 가역행렬(정칙행렬, nonsingular matrix) : 역행렬을 가질 수 있는 행렬 가우스-조르단의 소거법(Gauss-Fordan elimination) : 기약행 사다리꼴을 구하기 위해 행렬을 변환하는 과정 가우스 소거(Gauss elimination) : 행 사다리꼴을 구하기 위해 행렬을 변환하는 과정 가우스 행렬(Gauss matrix) : https://mathngju.tistory.com/32 계수(rank) : https://mathngju.tistory.com/47 고유공간(eigenspace) : 고유 다항식(characteristic polynomial) : 고유벡터(eigenvector) : 고윳값(eigenvalue) : 기본행연산(e.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 12. 20.

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